冪(代數中的冪)

冪是一個漢字，（漢語拼音：mì，注音：ㄇㄧˋ，音同“覓”），意思是指乘方運算的結果。指將自乘次。把冪看作乘方的結果，叫做“n的m次冪”或“n的m次方”。

基本介紹

• 中文名：冪
• 外文名：Power Exponent
• 定義：乘方運算的結果
• 學科：數學

冪定義

冪（漢語拼音：mì，注音：ㄇㄧˋ，音同“覓”），指乘方運算的結果。n^m指將n自乘m次（針對m為正整數的場合）。把n^m看作乘方的結果，叫做“n的m次冪”或“n的m次方”。

其中，n稱為“底數”，m稱為“指數”（寫成上標）。當不能用上標時，例如在程式語言或電子郵件中，通常寫成n^m或，也可視為超運算，記為n[3]m，亦可以用高德納箭號表示法，寫成n↑m，讀作“n的m次方”。 當指數為1時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為2時，可以讀作“n的平方”；指數為3時，可以讀作“n的立方”。

起始值1（乘法的單位元）乘上底數（n）自乘指數（m）這么多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數0和負數的情況：除0外所有數的零次方都是1；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這么多次）。

0的0次方數學家沒有給予正式的定義，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。

冪不符合結合律和交換律。

因為10的次方很易計算，只需在後加零即可，所以科學記數法藉助此簡化記錄數的方式；二的冪在計算機科學中很有用。

運算規則

同底數冪相乘，底數不變，指數相加。

同底數冪相除，底數不變，指數相減。

冪的乘方，底數不變，指數相乘。

同指數冪相乘，指數不變，底數相乘。

同指數冪相除，指數不變，底數相除。

有理數指數冪

雖然n^m在定義中指將n自乘m次，即n^m=n×n×n×…×n（共m個n），但對於這樣定義的冪，即使底數可以取任意實數，指數也只能為正整數，因此我們有必要將指數的範圍進行擴大。

零指數冪

當底數n≠0時，由於，根據冪的運算規則可知，。因此定義零指數冪如下：

即任何非0實數a的0次方都等於1。

定義中a≠0是式子成立的必要條件，或者說0的0次方沒有意義。這是因為根據定義的推導，0作除數沒有意義。

補充說明：

負指數冪

有了零指數冪的定義之後，現在來定義負指數冪。

當底數n≠0時，由於，根據冪的運算規則可知，。因此定義負指數冪如下：

簡單來說，對非0實數a進行負指數次方運算，只要將底數變為它的倒數，指數去掉負號即可。

分數指數冪

我們來考慮指數為分數的冪該如何定義。為了討論簡便，先考慮分子為1，而分母為正整數的情況。

設，其中n為正整數。兩邊同時作乘方運算，自乘n次，並根據冪的乘方的運算法則，我們可以得到以下關係式：

我們發現，x恰好就是a的n次方根（的其中一個）。根據根式的定義，，即：

再考慮分子不為1的情況。根據冪的乘方運算，

或

兩種對的理解是等價的。

應當指出，當n為奇數時，底數a可以為任何實數。但當n為偶數時，由於負數開偶次方後將得到一個純虛數，在純虛數中，即，這就違背了兩種理解的等價性，此時的a只能取非負數。

所以為了讓任何分數指數冪都存在並且都等於，我們人為規定如下：

也就是說，分數指數冪要有意義，底數必須不小於0。這就是分數指數冪的定義。

上面已經定義了整數次冪、0指數冪、負指數冪以及分數指數冪，相當於將所有的有理數（不管是整數還是分數，或者正有理數還是負有理數還是0）次冪都進行了定義。

綜合上面的定義，當指數x為有理數時，為了讓a^x有意義，底數a必須滿足a>0（因為分數指數冪規定a≥0，而0指數冪和負指數冪規定a≠0，取交集可知a>0）。那么，在a>0的情況下，作指數函式y=a^x，並將函式圖像畫在直角坐標系中。我們會發現，無論a是否等於1，函式的圖像總會被挖去無數個點。這些被挖去的點的來源就是當x取無理數時，a^x無法定義（從而無法找到點(x,a^x)）。一旦定義了無理數次冪之後，這些無法定義的點將被找到並填滿y=a^x的圖像上被挖去的部分，使指數函式的圖像變成一條沒有任何空隙的曲線。

冪的大小比較

首先必須明確，當a>0，x是有理數時，總有a^x>0。在這樣的條件下，設有兩個有理數指數冪a^m、aⁿ，其中a>0，m、n都是有理數並且m>n。現考慮a^m、aⁿ的大小關係。

①當a=1時，不難得到a^m=aⁿ=a；

②當a≠1時，作商。因m-n>0，根據正指數冪函式的遞增性，若a>1，則a^m-n>1^m-n=1；若0<a<1，則a^m-n<1^m-n=1.

再根據不等式的性質，當a>1時，有a^m>aⁿ。當0<a<1時，有a^m<aⁿ。即對有理數指數冪函式y=a^x，當a>1時是增函式，當0<a<1時是減函式。

無理數指數冪

無理數簡單來說就是無限不循環小數。對任何一個無理數x>0，我們可以這樣操作：

第一步，取x的整數部分和小數點後一位，而把其餘部分全部捨去；

第二步，取x的整數部分和小數點後二位，而把其餘部分全部捨去；

……

第n步，取x的整數部分和小數點後n位，而把其餘部分全部捨去；

……

這樣我們就取得了一列有理數列{x_n}逐漸逼近它。例如，我們取一列有理數

顯然這樣取得的有理數列{x_n}是單調增加並且有上界的，它的極限就是無理數x。以a為底，x_n為指數作冪，得到一個新的數列。由有理數指數冪的大小比較規律可知，當a>1時，數列{}單調遞增有上界；當0<a<1時，數列{}單調遞減有下界（[x]表示不超過x的最大正數，在這裡即是x的整數部分）。根據單調有界定理，{}收斂，我們便把這個數列的極限定義作a^x。

有了這個定義之後，指數函式y=a^x的定義域便擴充到了全體實數，而其圖像也將變得完整（事實上指數函式的圖像不僅是完整的，還是處處連續、處處可導的）。