確界原理

確界原理( supremum and infimum principle )是刻畫實數完備性的命題之一。

設S為非空數集。若S有上界,則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界。

基本介紹

  • 中文名:確界原理
  • 外文名:supremum and infimum principle 
  • 提出者波爾查諾(Bolzano,B.)
  • 提出時間:1817年
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:實數完備性
定義,上界和下界,上確界和下確界,描述,證明,推廣的確界原理,套用,

定義

上界和下界

設實數集S非空。若存在實數M,
,有
,則稱M是S的一個上界。而若存在實數m,
,有
,則稱m是S的一個下界
顯然,所有大於M的數都是S的上界,所有小於m的數都是S的下界。因此一個數集的上界(或下界)不是唯一的。

上確界和下確界

設非空數集S有上界,若存在實數β滿足以下兩個條件:
,有
;(即β是S的一個上界)
,有
。(即再小一點就不是上界)
則稱實數β為S的上確界,記為
同理,若存在實數α滿足以下兩個條件:
,有
;(即α是S的一個下界)
,有
。(即再大一點就不是下界)
則稱實數α為S的下確界,記為
有時上確界也被叫做最小上界,下確界也被叫做最大下界。
注意:S的上確界(或下確界)可能屬於S,也可能不屬於S。當上確界(或下確界)屬於S時,不難證明上確界(或下確界)就是S中的最大數(或最小數)。

描述

確界原理:任一有上界的非空實數集必有上確界(最小上界);同樣任一有下界的非空實數集必有下確界(最大下界)。
實數的這個性質是波爾查諾(Bolzano,B.)於1817年發現的。

證明

戴德金定理證明非空有上界數集必有上確界,非空有下界數集必有下確界同理。
設S為一非空有上界數集,即
成立。取數集B為S所有上界的集合,A=R/B。則:
①由取法可知
,故
,故
,因此
③∵A中任何元素都不是S的上界,∴
又∵B中任何元素都是S的上界,∴
故必有
∴由戴德金定理可知,要么A中有最大值,要么B中有最小值。設這個值為η,並且
恆成立。
假設η是A中的最大值,即
,那么,
又∵
,∴
但,
,與B中任何元素都是S的上界矛盾。
∴η是B中的最小值,即S有最小上界(上確界)。

推廣的確界原理

若把+∞和-∞補充到數集當中,並規定任意一實數a與+∞,-∞的關係為-∞<a<+∞,則確界的概念可擴充為:若數集S無上界,則規定+∞為S的非正常上確界,記做sup S=+∞;若S無下界,則定義-∞為S的非正常下確界,記做inf S=-∞,相應的,若S有上確界或者下確界,則此定義分別成為正常上確界和正常下確界。
即: 任意一非空數集必有上確界和下確界(包括正常的和非正常的)

套用

確界原理作為整個極限理論的基礎,並且由於它直觀易懂,經常代替戴德金定理作為實數公理,從而導出一系列與極限相關的性質,如單調有界定理柯西審斂原理等。在此簡單介紹用確界原理推導柯西審斂原理。
柯西審斂原理:數列{xn} 收斂的充要條件是,
,當
時,有
我們把條件“
,當
時,有
”稱為柯西條件,把滿足柯西條件的數列稱為柯西序列,於是{xn}收斂就等價於{xn}是柯西序列,或{xn}滿足柯西條件。
其幾何意義表示,數列{xn}收斂的充要條件是,對任意給定的正數ε,在數軸上一切具有足夠大號碼的點xn中,任意兩點的距離小於ε。
證明:
必要性:(略,可參考相應詞條)
充分性:先證明柯西序列是有界的。
因{xn}是柯西序列,
,當
時,有
注意一旦ε確定之後,就被當做常數,於是由上述不等式以及三角不等式解得
,因此當
時,{xn}有界。而把數列的前N項添加進去顯然還是有界的,於是得到對任意自然數n,{xn}有界。設
現構造一個集合S,集合S中的元素x滿足:在區間
上最多有{xn}的有限項且至少有一個{xn}的項。顯然
,於是S非空;而S又是有界的,M是一個上界。這是因為假設M不是上界,即存在
,使得
,即
,與S的定義不符。
根據確界原理,S存在上確界,設
,現證
,考慮區間
,這個區間上必然有{xn}的無限項。不妨設
,且
因{xn}是柯西序列,由定義,對上述的ε,
,令
,當
時,任取某個
,有

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