存在一個實數a和一個實數集合B，使得對∀x∈B，都有x≥a，則稱a為B的下界（lower bound）。相反，在數學中，特別是在秩序理論中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S裡面，大於或等於S的每個元素的K的那個元素，叫做上界。而下界被定義為K的元素小於或等於S的每個元素。
基本介紹
- 中文名：下界
- 外文名：lower bound
- 學科：數學
- 性質：下界小於等於集合中的元素
- 表示方式：對所有x∈B，有x≥a，a為下界
- 相關名詞：上界
簡介,定義,舉例,函式下界,
簡介
存在一個實數a和一個實數集合B，使得對∀x∈B，都有x≥a，則稱a為B的下界（lower bound）。在數學中，特別是在秩序理論中，在某些部分有序集合（K，≤）的子集S裡面，大於或等於S的每個元素的K的那個元素，叫做上界。下界被定義為K的元素小於或等於S的每個元素。
定義
考慮一個實數集合M。如果有一個實數S，使得M中任何數都大於S，那么就稱S是M的一個下界。
用數學符號表示為：對∀x∈M，都有x≥s，則稱s是M的下界（lowerbound）。
上確界定義：設S是R中的一個數集，若數η∈S滿足
（i）對∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界；
（ii）對∀a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），則稱η為數集S的上確界；
下確界定義：設S是R的一個數集，若數ξ∈S滿足：
（i）對∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；
（ii）對∀β>ξ,∃x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），則稱ξ為數集的S的下確界。
舉例
例如，5是集合{5，8，42，34，13934}的下界。
另一個例子是對於集合{42}，數字42既是上界和下界，所有其他實數都不是該集合的上限或下限。
所有自然數的每個子集都具有下界，因為自然數具有最小元素（0或1，取決於自然數的確切定義）。 自然數的無限子集不能從上面界定。 整數的無限子集可以從下方界定或從上方界定。有理數字的無限子集可能來自也可能不會從下方界定，也可能不限於上述。
非空的完全有序集的每個有限子集都有上界和下界。
函式下界
下界的定義可以推廣到函式甚至是一組函式。
給定具有域D和部分有序集合（K，
），對於D中的每個x，如果y
f（x），K中的元素y則是函式f的下界。
如果函式g是該集合中每個函式的下界，則進一步稱為函式集合的下界。
函式的上界概念類似地定義，只要用“
”替換“
”即可。
