哈密頓算符

量子力學中，哈密頓算符(Hamiltonian) H為一個可觀測量(observable)，對應於系統的的總能量。一如其他所有算符，哈密頓算符的譜為測量系統總能時所有可能結果的集合。如同其他自伴算符(self-adjoint operator)，哈密頓算符的譜可以透過譜測度(spectral measure)被分解，成為純點(pure point)、絕對連續(absolutely continuous)、奇點(singular)三種部分。

基本介紹

• 中文名：哈密頓算符
• 外文名：Hamiltonian
• 套用：系統的的總能量
• 組成：純點、絕對連續、奇點
• 符號：H
• 領域：物理、量子力學

簡介

純點譜與本徵矢量相應，而後者又對應到系統的束縛態(bound states)；絕對連續譜則對應到自由態(free states)；奇點譜則很有趣地由物理學上不可能的結果所組成。舉例來說，考慮有限勢阱的情形，其許可了具有離散負能量的束縛態，以及具有連續正能量的自由態。

一般的哈密頓算符具有如下形式：

薛丁格方程可寫成：

算法

哈密頓算符產生了量子態的時間演化。若為在時間 t 的系統狀態，其中為約化普朗克常數。此方程為薛丁格方程。（其與哈密頓-雅可比方程具有相同形式，也因為此，H 冠有哈密頓之名。）若給定系統在某一初始時間（t = 0）的狀態，我們可以積分得到接下來任何時間的系統狀態。其中特別的是，若 H 與時間無關，則定態解形式不變。

定態薛丁格方程 中的哈密頓算符具有如下形式：

一維情形：

三維情形：

定態薛丁格方程可以轉化為一個偏微分方程

或化成

對於不同的勢函式 V，解這個偏微分方程的即得到定態波函式。

哈密頓運算元

首先，“”這個東西具有“雙重性格”，它既是一個矢量，又是一個微分運算元（求導運算），所以哈密頓算符兼具矢量和微分的性質。按照定義：

eg：

其中，，分別為，，坐標軸的單位矢量。

上式表示D的散度（也記為divD），Dx，Dy，Dz分別為D在x，y，z坐標軸上的分量。▽×H表示H的旋度（也可記為rotH或curlH）。