函式極限

函式極限

函式極限是高等數學最基本的概念之一,導數等概念都是在函式極限的定義上完成的。函式極限性質的合理運用。常用的函式極限的性質有函式極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函式極限的運算法則和複合函式的極限等等。

基本介紹

  • 中文名:函式極限
  • 外文名:limit
  • 極限 :唯一性
  • 極限存在:還可以求極限
定義,概念,存在準則,方法,

定義

設函式
在點
的某一去心鄰域內有定義,如果存在常數A,對於任意給定的正數
(無論它多么小),總存在正數
,使得當x滿足不等式
時,對應的函式值
都滿足不等式:
那么常數A就叫做函式
時的極限,記作
函式極限

概念

函式極限可以分成
,而運用ε-δ定義更多的見諸已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。
的極限為例,f(x) 在點
以A為極限的定義是: 對於任意給定的正數ε(無論它多么小),總存在正數
,使得當x滿足不等式
時,對應的函式值f(x)都滿足不等式:
,那么常數A就叫做函式f(x)當 x→x。時的極限
問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ,在這一過程中會用到一些不等式技巧,例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中,更是直接考察了考生對定義的掌握情況。
如函式極限的唯一性(若極限存在,則在該點的極限是唯一的)

存在準則

有些函式的極限很難或難以直接運用極限運算法則求得,需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。
1.夾逼定理:(1)當
(這是
去心鄰域,有個符號打不出)時,有
成立
(2)
,那么,f(x)極限存在,且等於A
不但能證明極限存在,還可以求極限,主要用放縮法
2.單調有界準則:單調增加(減少)有上(下)界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函式的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂,然後再求極限值。二是套用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函式 ,並且要滿足極限是趨於同一方向 ,從而證明或求得函式 的極限值。
3.柯西收斂準則
數列{Xn}收斂的充分必要條件是:對於任意給定的正數ε,總存在正整數N,使得當m>N,n > N時,且m≠n,有
。我們把滿足該條件的{Xn}稱為柯西序列,那么上述定理可表述成:數列{Xn}收斂,若且唯若它是一個柯西序列。

方法

①利用函式連續性:
(就是直接將趨向值帶入函式自變數中,此時要要求分母不能為0)
當分母等於零時,就不能將趨向值直接代入分母,可以通過下面幾個小方法解決:
第一:因式分解,通過約分使分母不會為零。
第二:若分母出現根號,可以配一個因子使根號去除。
第三:以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的,如果趨向於無窮分子分母可以同時除以自變數的最高次方。(通常會用到這個定理:無窮大的倒數為無窮小)
當然還會有其他的變形方式,需要通過練習來熟練。
③通過已知極限
特別是兩個重要極限需要牢記。
④採用洛必達法則求極限
洛必達法則是分式求極限的一種很好的方法,當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達,其他形式也可以通過變換成此形式。
洛必達法則:符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。

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