有界性

有界性

函式的有界性定義:若存在兩個常數m和M,使函式y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函式y=f(x)在D有界,其中m是它的下界,M是它的上界。

基本介紹

  • 中文名:有界性
  • 外文名:boundedness
  • 所屬學科:數理科學函式
  • 分類:上界、下界
  • 相關概念:有界、無界、
定義,定義1,定義2,注意點,例題解析,

定義

定義1

設函式
數集
上有定義,如果存在常數
,使得對任意
,有
則稱函式
在數集
有界,否則稱為無界
例如,函式
在其定義域
內有界,這是因為對任意
,總有
再如,函式
在其定義域
內是無界的,這是因為對任意的實數
,總存在點
,顯然
,使得
,然而,對任意實數
,函式
在定義域的子集
上卻是有界的,這是因為對任意
,總有
,於是便可取實數
.使得

定義2

設函式
在數集
上有定義,如果存在常數
,使得對任意
,有
則稱函式
在數集
有上界.並稱M為
在A上的上界.如果存在常數m.使得對任意
,有
則稱函式
在數集
有下界,並稱m為
上的下界
顯然,若
在A上有界,則
在A必有上、下界。反之,若
在A上有上、下界,則
在A上必有界.
由定義1可知,在集合A上有界函式
的圖形在A上,應介於平行於x軸的兩條直線
之間,如圖1所示.
圖1圖1

注意點

關於函式的有界性.應注意以下兩點:
(1)函式在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;
(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界(見圖2).如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間,那么函式一定是無界的,如
圖2圖2

例題解析

例1: 討論下列函式的有界性:
(1)
(2)
解: (1)由於對一切
,都有
上是有界函式。
(2)根據
的圖形(見圖3)容易看出,不論正數M多么大,不等式
不可能對一切
均成立,因此
上是無界函式。
但如果在區間
上討論函式
,因對一切
,不等式
成立,故
在區間
上是有界函式。
例2:
證明:函式
是有界函式。
證明:
的定義域為
,又
因此
是有界函式。

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