Fourier分析

Fourier分析

Fourier分析，即傅立葉分析，是數學的一個分支領域。它研究如何將一個函式或者信號表達為基本波形的疊加。它研究並擴展傅立葉級數和傅立葉變換的概念。基本波形稱為調和函式，調和分析因此得名。在過去兩個世紀中，它已成為一個廣泛的主題，並在諸多領域得到廣泛套用，如信號處理、量子力學、神經科學等。

基本介紹

  • 中文名：Fourier分析
  • 外文名：Fourier analysis
  • 別名：調和分析、傅立葉分析
傅立葉分析,抽象調和分析,套用,其它分支,另見,

傅立葉分析

  1. 它研究並擴展傅立葉級數和傅立葉變換的概念。基本波形稱為調和函式，調和分析因此得名。在過去兩個世紀中，它已成為一個廣泛的主題，並在諸多領域得到廣泛套用，如信號處理、量子力學、神經科學等。
  2. 定義於Rn上的經典傅立葉變換仍然是一個十分活躍的研究領域，特別是在作用於更一般的對象（例如緩增廣義函式）上的傅立葉變換。 例如，如果在函式或者信號上加上一個分布f，我們可以試圖用f的傅立葉變換來表達這些要求。Paley-Wiener定理就是這樣的一個例子。Paley-Wiener定理直接蘊涵如果f是緊支撐的一個非零分布，(這包含緊支撐函式)，則其傅立葉變換從不擁有緊支撐。這是在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式。參看經典調和分析。
  3. 在希爾伯特空間,傅立葉級數的研究變得很方便，該空間將調和分析和泛函分析聯繫起來。

抽象調和分析

  1. 拓撲群上的數學分析是調和分析更現代的一個分支，源於20世紀中葉。其主要動機是各種傅立葉變換可以推廣為定義在局部緊緻阿貝爾群上的函式的變換。關鍵是證明普朗歇爾定理的類比。
  2. 局部緊緻阿貝爾群上的調和分析以龐特里亞金對偶性為基石，現已有完整的理論。對於一般的局部緊拓撲群，調和分析的課題是分類其酉表示。主要對象是李群與p-進群。
  3. 對於緊群，任何不可約表示必為有限維么正表示，彼得-外爾定理斷言：不可約么正表示的矩陣係數構成的正交基；映射具有與傅立葉變換相近的性質。藉此可以深究緊群的結構。
  4. 對於非緊亦非交換的群，須考慮其無窮維表示。

套用

傅立葉分析在物理學、偏微分方程、數論、組合、信號處理、數字圖像處理、機率論、統計學、法醫學、期權定價、密碼學、數值分析、聲學、海洋學、聲納、光學、衍射、幾何、蛋白質結構分析等領域均有套用。

其它分支

  1. 研究流形或圖上的拉普拉斯運算元。
  2. 歐氏空間上的傅立葉分析。由於傅立葉變換在旋轉下保持不變，可析之為徑向成份與球面成份，由此導向貝塞爾函式與球諧函式的研究。
  3. 管狀域上的調和分析，這是哈代空間在高維度的推廣。

另見

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