傅立葉積分

當一個非常複雜的函式變成多個初等正弦函式相加時，它的積分比之前對複雜函式的積分變得簡單多了。法國數學家傅立葉發現了周期函式可以用一系列正弦函式組成的級數表示。先把函式作傅立葉變換，然後再利用萊布尼茨公式即可求出結果。

基本介紹

• 中文名：傅立葉積分
• 外文名：Fourier Integral
• 所屬學科：數學
• 定義者：法國數學家傅立葉
• 套用：卷積計算、數位訊號處理等
• 意義：用多個正弦函式相加表示複雜積分

概念

傅立葉積分是一種積分在運算過程中的變換，它來源於函式的傅立葉積分表示。以傅立葉變換為工具，研究函式的許多性質，是傅立葉分析的主要內容。傅立葉變換在數學、物理以及工程技術中都有重要的套用。

定義

一.基本定義和定理

基本定義：若函式 f(x)滿足條件

①在任一有限區間都連續或只有有限個第一類間斷點，並且只有有限個極值；

②在(-∞，+∞)上絕對可積，即有限；則定義[f(x)→C(ω)]

為 f(x)的（復）傅立葉變換；記C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，稱 C(ω)為（復）傅立葉變換像函式。

定理：在上面定義的基礎上，可以證明

（在間斷點，右邊的積分收斂到f(x)在該點左右極限的平均值）．稱該積分為 f(x)的傅立葉復積分；f(x)為 C(ω)的（傅立葉逆變換 C(ω)→f(x)）原函式。常記。

二. 實數形式的傅立葉積分

和定理對應的實函式形式為：

稱 f(x)的（實數形式的）傅立葉積分。其中

稱為 f(x)的實傅立葉變換。