傅立葉分析(分析學術語)

傅立葉分析Fourier analysis 分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函式的傅立葉變換及其性質。又稱調和分析。在經歷了近2個世紀的發展之後，研究領域已從直線群、圓周群擴展到一般的抽象群。關於後者的研究又成為群上的傅立葉分析。傅立葉分析作為數學的一個分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數學其它分支的發展。數學中很多重要思想的形成，都與傅立葉分析的發展過程密切相關。

基本介紹

• 中文名：傅立葉分析
• 外文名：Fourier analysis
• 別名：調和分析
• 研究方向：函式的傅立葉變換及其性質
• 說明：擴展到一般的抽象群
• 學科：數理科學

基本簡介

傅立葉分析（Fourier analysis）是分析學中逐漸形成的一個重要分支，它研究並擴展傅立葉級數和傅立葉變換的概念，又稱調和分析。在過去兩個世紀中，它已成為一個廣泛的主題，並在諸多領域得到廣泛套用，如信號處理、量子力學、神經科學等。

定義於R上的經典傅立葉變換仍然是一個十分活躍的研究領域，特別是在作用於更一般的對象（例如緩增廣義函式）上的傅立葉變換。例如，如果在函式或者信號上加上一個分布f，我們可以試圖用f的傅立葉變換來表達這些要求。Paley-Wiener定理就是這樣的一個例子。Paley-Wiener定理直接蘊涵如果f是緊支撐的一個非零分布，（這包含緊支撐函式），則其傅立葉變換從不擁有緊支撐。這是在調和分析下的測不準原理的一個非常初等的形式。參看經典調和分析。

抽象調和分析

拓撲群上的數學分析是調和分析更現代的一個分支，源於20世紀中葉。其主要動機是各種傅立葉變換可以推廣為定義在局部緊緻阿貝爾群上的函式的變換。關鍵是證明普朗歇爾定理的類比。

局部緊緻阿貝爾群上的調和分析以龐特里亞金對偶性為基石，現已有完整的理論。對於一般的局部緊拓撲群，調和分析的課題是分類其酉表示。主要對象是李群與p-進群。

對於緊群，任何不可約表示必為有限維么正表示，彼得-外爾定理斷言：不可約么正表示的矩陣係數構成的正交基；映射具有與傅立葉變換相近的性質。藉此可以深究緊群的結構。

對於非緊亦非交換的群，須考慮其無窮維表示。

其它分支

1、研究流形或圖上的拉普拉斯運算元

2、歐氏空間上的傅立葉分析

由於傅立葉變換在旋轉下保持不變，可析之為徑向成分與球面成分，由此導向貝塞爾函式與球諧函式的研究。

3、管狀域上的調和分析

這是哈代空間在高維度的推廣。

參考書目

A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed.,Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.

E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.

G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.

E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2,Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.