基本介紹
- 中文名：邊界元法
- 外文名：boundary element method
- 學科：數學
- 屬性：數值方法
- 優點：單元個數少，數據準備簡單等
- 書籍：《邊界元法》等
定義解釋,基礎,發展,圖書內容,圖書目錄,
定義解釋
邊界元法是在有限元法之後發展起來的一種較精確有效的方法 。 又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數方程組求解。它與基於偏微分方程的區域解法相比，由於降低了問題的維數，而顯著降低了自由度數，邊界的離散也比區域的離散方便得多，可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀，最終得到階數較低的線性代數方程組。又由於它利用微分運算元的解析的基本解作為邊界積分方程的核函式 ，而具有解析與數值相結合的特點，通常具有較高的精度。特別是對於邊界變數變化梯度較大的問題 ，如應力集中問題 ，或邊界變數出現奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由於邊界元法所利用的微分運算元基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特別便於處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的套用範圍以存在相應微分運算元的基本解為前提，對於非均勻介質等問題難以套用，故其適用範圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數方程組的係數陣是非對稱滿陣，對解題規模產生較大限制。對一般的非線性問題，由於在方程中會出現域內積分項，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優點。
基礎
邊界元法是基於控制微分方程的基本解來建立相應的邊界積分方程，再結合邊界的剖分而得到的離散算式。
Jaswon和Symm於1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo[3]於1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse[4]於1969年將此法推廣到三維彈性力學問題。1978年，Brebbia用加權餘量法推導出了邊界積分方程，他指出加權餘量法是最普遍的數值方法，如果以Kelvin解作為加權函式，從加權餘量法中導出的將是邊界積分方程——邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標誌著邊界元法進入系統性研究時期。
發展
經過近40年的研究和發展，邊界元法已經成為一種精確高效的工程數值分析方法。在數學方面，不僅在一定程度上克服了由於積分奇異性造成的困難，同時又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統一的數學分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎。在方法與套用方面，邊界元法已套用到工程和科學的很多領域，對線性問題，邊界元法的套用已經規範化；對非線性問題，其方法亦趨於成熟。在軟體套用方面，邊界元法套用軟體已由原來的解決單一問題的計算程式向具有前後處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程式包發展。
我國約在1978年開始進行邊界元法的研究，我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，並且發展了相應的計算軟體，有些已經套用於工程實際問題，並收到了良好的效果。
圖書內容
《邊界元法》分為傳統邊界元法的基本內容發展的快速多極邊界元法等新進展兩大部分。前七章包含了傳統邊界元法的基本內容，分為三個單元：前三章為數學力學基礎部分，介紹各種問題邊界積分方程的建立；第四、第五章為基本數值方法部分，包括分元離散，數值積分和方程求解，並結合二維問題介紹其程式實現；第六、第七章為幾類套用專題，主要是含時間問題、幾種非線性問題和反問題。
第八、第九章介紹快速多極邊界元法和大規模快速多極邊界元並行算法，第十二章介紹與邊界積分方程相關的邊界型無格線法。另外在第十、第十一兩章簡要介紹國際上邊界元法比較成功的套用，包括在機械、結構工程中的套用，和聲場、電磁場分析設計中的套用。
書中的內容多於48學時或32學時的課程能夠講授的內容，便於不同學校、不同專業的老師根據需要選講部分內容，同時為研究生提供課外的補充學習材料。《邊界元法》附帶光碟，提供彈性力學平面問題的邊界元法C++和Fonran源程式、一個三維位勢問題的常規和快速邊界元分析程式的執行檔案，以及相應的考題和算例，供讀者試用。
《邊界元法》也可以作為有關教師和工程技術人員學習邊界元法的參考書。
圖書目錄
引言
1 邊界元法的數學基礎
2 邊界元法的發展歷史
3 我國邊界元法研究概況
4 邊界元法研究的最新進展
5 邊界元法的套用舉例
6 邊界元法的優缺點
7 本書的內容安排
參考文獻
第一章 位勢問題的邊界積分方程與邊界元法
1 調和方程的基本定解問題
2 Green等式、基本解及解的積分表達式
3 邊界積分方程的建立
4 對於一般問題的推廣
5 位勢問題的邊界元法簡介
習題
附錄1指標符號與笛卡兒張量簡介
A1.1 指標符號
A1.2 矢量
A1.3 張量和張量場
參考文獻
第二章 線彈性靜力學問題的邊界積分方程
1 線彈性靜力學定解問題的微分提法
2 Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式
3 線彈性靜力學的邊界積分方程
4 建立基本解的一種一般方法
習題
參考文獻
第三章 幾種常見的直接法和間接法邊界積分方程
1 核函式的擴充
2 迴轉體問題
2.1 變截面軸的扭轉問題
2.2 軸對稱問題
2.3 迴轉體的彎曲問題
3 彈性薄板彎曲問題
3.1 彈性薄板彎曲問題的微分提法
3.2 彈性薄板彎曲問題的基本邊界積分方程
3.3 彈性薄板彎曲問題的補充邊界積分方程
4 彈性裂紋問題的對偶邊界積分方程
4.1 位移邊界積分方程
4.2 面力邊界積分方程
5 半空間、半平面問題
5.1 半空間問題
5.2 半平面問題
6 位勢問題的間接法邊界積分方程
7 虛應力法建立的邊界積分方程
8 位移間斷法建立的邊界積分方程
9 域外回線虛載荷法建立的回線積分方程
10 域外奇點法建立的邊界積分方程
習題
參考文獻
第四章 二維問題的邊界元數值方法與程式實現
1 邊界的離散化
1.1 二維域邊界線的幾何描述及單元自動劃分
1.2 二維域的邊界線元單元描述
2 邊界積分方程的離散化
2.1 由加權餘量法配點格式將邊界積分方程化為線性代數方程組
2.3 奇異積分的處理
2.3.1 弱奇異積分的處理
2.3.2 Cauchy主值積分和超奇異積分的簡單特解法
2.3.3 Cauchy主值積分和超奇異積分的有限部分積分的一般性處理方法
3 方程的求解以及邊界應力、內點位移和應力的確定
3.2 邊界應力的確定
3.3 內點位移和應力的確定
4 邊界元法計算誤差的一種直接估計
4.1 內點變數趨於邊界點極限的確定
4.2 邊界元解誤差的一種直接估計
4.3 基於邊界元解誤差直接估計的邊界元自適應計算簡例
5 邊界元子域法
5.1 邊界元鏈狀子域法
5.2 邊界元重複相似子域法
5.3 邊界元行列子域法
習題
附錄4 彈性力學平面問題邊界元分析軟體部分源程式
A4.1 FORTRAN程式BIEBE2說明
A4.2 C++源程式
參考文獻
第五章 三維問題的邊界元數值方法
1 邊界的離散化
1.1 用I-J映射法自動劃分單元
1.2 三維域的邊界面元單元描述
2 邊界積分方程的離散化
2.2 弱奇異積分的處理
2.3 奇異積分和近奇異積分的簡單特解法
2.4 Cauchy主值積分的直接計算法
2.5 超奇異積分的有限部分積分
3 線性代數方程組的求解
4 裂紋問題對偶邊界元法
4.1 裂紋面的分元離散
4.2 確定應力強度因子的方法
5 邊界元一有限元耦合方法
習題
附錄5 三維位勢問題邊界元分析軟體使用說明
A5.1 FMBEM-LAPLACE3D簡介
A5.2 使用方法
A5.2.1 前處理
A5.2.2 運行程式
A5.2.3 結果信息
A5.3 前處理轉換軟體PAq、一TRANSI。ATOR使用說明
A5.3.1 生成MSC.PATRAN前處理檔案
A5.3.2 生成BEM_INP.DAq、前處理檔案
參考文獻
第六章 與時間有關問題的邊界元法
1 瞬態熱傳導問題
1.1 Laplace變換法
1.2 邊界元一時間差分耦合法
1.3 與時間有關的基本解
2 彈性動力學問題
2.1 基於與時間有關基本解的邊界積分方程與邊界元法
2.1.1 與時間有關的基本解
2.1.2 時間一空間域的邊界積分方程
2.1.3 時間一空間域的彈性動力學邊界元法
2.2 Laplace變換法
2.2.1 在Laplace變換空間的邊界積分方程
2.2.2 邊界積分方程的離散
2.2.3 Laplace反演方法
2.3 雙重互易法
習題
附錄6 彈性動力學邊界元法補充公式
A6.1 彈性動力學二維問題的時間一空間域基本解
A6.2 彈性動力學三維問題時間一空間域基本解的時間積分
A6.3 彈性動力學三維問題的一種新的時空域邊界積分方程
A6.4 彈性動力學三維問題的一種新的高效的時空域邊界元法
參考文獻
