奇異積分

奇異積分（singular integral）為一數學名詞，是諧波分析的核心，也是傅立葉分析的中心概念，和偏微分方程的研究有密切關係。廣義而言，奇異積分是一個積分運算元。

基本介紹

• 中文名：奇異積分
• 外文名：singular integral
• 領域：數學
• 套用：諧波分析
• 定義：積分運算元

定義

奇異積分是指以下的積分變換：

其中核函式 沿對角線 時是奇異的，而且當 趨近0時，使得 的大小漸近趨近 。

具體而言，奇點是這樣的 是大小 漸近為 。因為這樣的積分通常不可能是絕對可積的，所以嚴格的定義必須把它們定義為積分的極限。 為 ，但實際上這是一個技術性問題。通常需要進一步的假設來獲得結果，例如它們在 上的有界性。

卷積類型的奇異積分

卷積類型的一個奇異積分是一個運算符，它是通過在核心上進行卷積來定義的，這個核心在 上是局部可積的，

假設核心滿足：

1. 的傅立葉變換的大小條件 ，

2.平滑度條件：對於一些C> 0， 那么可以證明 在 上有界並且滿足弱類型（1,1）估計。

屬性1.需要確保卷積與溫和分布 由主值積分給出

是L上的一個明確的傅立葉乘子。性質1或2都不容易驗證，並且存在各種充分條件。通常在應用程式中，也有一個取消條件

這是很容易檢查。例如，如果K是一個奇數函式，它是自動的。如果，另外，假設2和以下大小條件

那么可以表明平滑條件。原則上也經常難以檢查，可以使用以下K的充分條件：

注意到這些條件對於Hilbert和Riesz變換是滿足的，所以這個結果是這些結果的延伸。

非卷積型的奇異積分

如果關聯到Calderón-Zygmund核心，則是一個非卷積型奇異積分運算元，

每當f和g平滑並且有不相關的支持時。這樣的操作符不需要在L上有界