加權餘量法

加權餘量法(Weighted residual approach),又稱加權殘量法,加權殘餘法。當 n 有限時,定解方程存在偏差(餘量)。取權函式,強迫餘量在某種平均意義上為零。採用使餘量的加權積分為零的等效積分的“弱”形式來求得微分方程近似解的方法稱為加權餘量法。

概述,原理,權函式的選擇,

概述

加權餘量法是一種可以直接從微(積)分方程式求得近似解的數學方法,在計算力學中套用較多。在固體力學中,是求解線性、非線性微分方程的一種有效方法,它是基於等效積分形式的近似方法,也是通用的數值計算方法.有限元法、邊界元法、無格線法都是加權餘量法的特殊情況,由於這三種方法各有其特點,所以都各自發展為一種獨立的方法,加權餘量法最早是用於流體力學,傳熱等科學領域,後在固體力學中得到了更大的發展。

原理

先假設一個稱為試函式的近似函式,把它代入要求解的微分方程和邊界條件或初值條件;這樣的函式一般不能完全滿足這些條件,因而出現誤差,即出現殘數或殘值;選擇一定的權函式與殘數相乘,列出在解的域內消滅殘數的方程式,就可以把求解微分方程的問題轉化為數值計算問題,從而得出近似解。
如某—套用科學問題的控制微分方程式和邊界條件分別為:
Fu-f=0 (V域), (1)
Gu-f=0 (S邊界), (2)
式中u為待求函式,FG為算符;fg為不含u的項。設試函式為:
加權餘量法
式中Ci為待定參數或函式。式(3)一般不能滿足式(1)和式(2),從而出現內部殘數Ri和邊界函式Rb,即
加權餘量法
為消滅殘數,分別以內部權函式W1和邊界權函式Wb乘式(4)和(5),列出消除殘數的方程:
加權餘量法
它們將轉變為代數方程式,從這些方程式求出Ci,就獲得滿足式(1)和式(2)的近似解(3)。
若解(3)中所選擇的試函式項Ni,事先已能滿足式(2),則只需用式(6)消除殘數,這種方法稱為內部法。若Ni已滿足式(1),則只需用式(7)消滅殘數,這種方法稱為邊界法。若Ni既不滿足式(1),又不滿足式(2),則須用式(6)和式(7),這種方法稱為混合法。
作為一種數值計算方法,加權殘數法具有下述優點:①原理的統一性:尋求控制微分方程式的近似解,不分問題的類型和性質;②套用的廣泛性:數學、固體力學、流體力學、熱傳導、核物理和化工等多學科的問題都能套用;既可解邊值問題、特徵值問題和初值問題,也可解非線性問題;③不依賴於變分原理:在泛函不存在時也能解題;④計算誤差可知;⑤方法一般比較簡單、快速、準確,工作量少,程式簡單。

權函式的選擇

加權餘量法是求解微分方程近似解的一種有效方法.顯然,任何獨立的完全函式都可用來作為權函式,加權餘量法可分為內部法、邊界法和混合法,在內部法中,又可分為
1. 配點法,以笛拉克函式δ作為權函式
2. 子域法
3. 最小二乘法
4. 力矩法
5. 伽遼金法

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