有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地套用於以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯繫）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中套用加權餘數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可套用於以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯繫。基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
基本介紹
- 中文名：有限元法
- 外文名：finite element method
- 所屬領域：數學
- 概述：一種高效能、常用的計算方法
原理,運用步驟,派生,
原理
將連續的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個單元內假設的近似函式來分片的表示求解域上待求的未知場函式，近似函式通常由未知場函式及其導數在單元各節點的數值插值函式來表達。從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。
運用步驟
步驟1：剖分:
步驟2：單元分析:
步驟3：求解近似變分方程
用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿繫結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函式是只包含有限個待定節點參量的簡單場函式，這些單元場函式的集合就能近似代表整個連續體的場函式。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。有限元法已被用於求解線性和非線性問題，並建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、套用廣泛，已有許多大型或專用程式系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用於計算機輔助製造中。
有限單元法最早可上溯到20世紀40年代。Courant第一次套用定義在三角區域上的分片連續函式和最小位能原理來求解St.Venant扭轉問題。現代有限單元法的第一個成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機結構時，將鋼架位移法推廣套用於彈性力學平面問題，給出了用三角形單元求得平面應力問題的正確答案。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，並第一次提出了"有限單元法"，使人們認識到它的功效。
50年代末60年代初，中國的計算數學剛起步不久，在對外隔絕的情況下，馮康帶領一個小組的科技人員走出了從實踐到理論，再從理論到實踐的發展中國計算數學的成功之路。當時的研究解決了大量的有關工程設計應力分析的大型橢圓方程計算問題，積累了豐富而有效的經驗。馮康對此加以總結提高，作出了系統的理論結果。1965年馮康在《套用數學與計算數學》上發表的論文《基於變分原理的差分格式》，是中國獨立於西方系統地創始了有限元法的標誌。
有限元法常套用於流體力學、電磁力學、結構力學計算，使用有限元軟體ANSYS、COMSOL等進行有限元模擬，在預研設計階段代替實驗測試，節省成本。
派生
從有限元的基本方法派生出來的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協調元法和擬協調元法等，用以解決特殊的問題。
