連續曲線

連續曲線

連續曲線(continuous curve)是複平面上的拓撲基本概念之一,閉線段a≤t≤b(a≠b)到複平面的連續映射稱為連續曲線。若x(t)和y(t)是兩個在區間a≤t≤b上連續的函式,則z=z(t)=x(t)+iy(t),(a≤t≤b)在平面上確定一條連續曲線γ。若對任意的t1∈(a,b)及t2∈[a,b],只要t1≠t2就有z(t1)≠z(t2),則稱連續曲線γ為簡單曲線或若爾當弧,z(a)稱為這條簡單曲線的起點,z(b)稱為這條簡單曲線的終點,若簡單曲線γ還滿足z(a)=z(b),則稱γ為簡單閉曲線,簡單閉曲線也稱為若爾當曲線。

基本介紹

  • 中文名:連續曲線
  • 外文名:continuous curve
  • 所屬學科 :數學
  • 所屬領域:複變函數論(複平面)
  • 屬性:複平面上的拓撲基本概念之一
定義,相關性質,

定義

在直角坐標系中一條連續曲線L的參數方程
此處
是實連續函式,那么在複平面上,連續曲線L就可以表示為
此處
實變數的復連續函式。

相關性質

指定了起點和終點的連續曲線稱為有向曲線,若不作特別說明,一般規定沿參數 t 增加的方向為曲線正方向,即連續曲線(1)以
為起點,而以
為終點,這時(1)的反向曲線可表作
即L的兩個端點重合,則稱L為閉曲線。若有
,使得z(t1)=z(t2),它們就是曲線L上的重點,沒有重點的曲線稱為簡單曲線,僅僅在兩個端點重合的曲線稱為簡單閉曲線
若有
使得
而z(t)是
上的廣義連續函式,則稱L為廣義連續曲線。例如,射線為廣義簡單曲線;直線為廣義簡單閉曲線。
連續曲線
經連續函式
映照的象仍是一條連續曲線,它的參數表示為
一條簡單閉曲線L將平面分為兩個沒有交集的區域,它們以L為公共邊界,其中一個為有界的區域,稱為內部;另一個為無界的區域,稱為外部。這是著名的約當定理
以上結論對擴充複平面上的廣義簡單閉曲線也是正確的,只是被它分成的兩個區域將都是無界的。
如果一個區域的邊界為簡單閉曲線,則規定邊界曲線(相對於區域的)正方向為:當沿邊界曲線正方向行進時,區域應保持在其左方。
擴充複平面上的一個區域D稱為單連通區域,若屬於D的任意一條簡單閉曲線的內部或外部之一仍屬於D,否則就稱為多連通區域。複平面及擴充複平面本身就都是單連通區域。
例如,圓周
將擴充複平面分為兩個區域,圓內
及圓外
,它們都是單連通區域,它們以圓周
為公共邊界。顯然,對於不包含
點的複平面,圓外不再是單連通區域,而是一個無界的多連通區域。
從擴充複平面上除去一條非閉的簡單曲線L,餘下的部分是一個單連通區域,這樣的非閉的簡單曲線L形象地稱為割口,所得的區域稱為帶割口的區域,割口上的點(非端點)看作是重疊在一起的分別屬於割口兩側的兩個邊界點。
例如沿正半實軸割開的複平面:
就是一個帶割口的區域;沿著區間[一1,1]割開的擴充複平面也是一個帶割口的區域。
是複平面上n+1條簡單閉曲線,其中
這n條曲線互不相交且互不包含另一條曲線在其內部,但它們全在L0的內部,則稱以這n+1條簡單閉曲線為邊界的區域為n+1連通區域。特別地,上述的n+1條簡單閉曲線都允許其中任意一條退化為一段制口,甚至是一個孤立點,例如圓環
及鄰環
都是有界的二連通區域;再如,若L0退化為點,那得到的將是擴充複平面上的無界的n+1連通區域;若L0不存在,那么,以
這n條曲線為邊界的區域就是擴充複平面上的無界的n連通區域。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們