連通區域

複平面上的一個區域G，如果在其中任做一條簡單閉曲線，而閉曲線的內部總屬於G，就稱G為單連通區域。一個區域如果不是單連通區域，就稱為多連通區域。

基本介紹

• 中文名：連通區域
• 外文名：connected domain
• 分類：單連通、多連通
• 區分：是否有“洞”
• 領域：複平面上的拓撲基本概念
• 學科：數學

定義

區域：平麵點集D稱為區域，如果它滿足如下兩個條件：

（1）D是一個開集；

（2）D是連通的，即D中任何兩點都可以用完全屬於D的一條折線連線起來。（如圖1所示）

圖1 區域

單/雙連通區域：設z=z(t)（a≤t≤b）為一條連續曲線，z(a)與z(b)分別稱為C的起點與終點。對於滿足a<t₁<b，a≤t₂≤b的t₁與t₂，當t₁≠t₂時，有z(t₁)=z(t₂)，則點z(t₁)稱為曲線的重點。沒有重點的連續曲線C，稱為簡單曲線或約當(Jordan)曲線。如果曲線C的起點與終點重合，即z(a)=z(b)，那么曲線C稱為簡單閉曲線。由此可知，簡單閉曲線自身不會相交。任意一條簡單閉曲線C把整個複平面唯一地分成三個互不相交的點集，其中除去C自身以外，一個是有界區域，稱為C的內部，另一個數無界區域，稱為C的外部，C為它們的公共邊界。

複平面上的一個區域G，如果在其中任做一條簡單閉曲線，而閉曲線的內部總屬於G，就稱G為單連通區域（如圖二左所示）。一個區域如果不是單連通區域，就稱為多連通區域（如圖二右所示）。

舉例

例如，平面區域|z|<1，右半平面Re z>0都是單連通區域，而圓環1<|z|<4，0<|z|<1均是多連通區域，直觀地說，單連通區域是沒有“洞”的區域，而多連通區域則是有“洞”的區域。