李雅普諾夫穩定性

在自動控制領域中，李雅普諾夫穩定性（英語：Lyapunov stability，或李亞普諾夫穩定性）可用來描述一個動力系統的穩定性。如果此動力系統任何初始條件在平衡態附近的軌跡均能維持在平衡態附近，那么可以稱為在處李雅普諾夫穩定。

若任何初始條件在平衡態附近的軌跡最後都趨近，那么該系統可以稱為在處漸近穩定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。

李雅普諾夫穩定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普諾夫穩定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普諾夫穩定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但“接近”的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普諾夫穩定性套用在有輸入的系統。

基本介紹

• 中文名：李雅普諾夫穩定性
• 外文名：Lyapunov stability
• 別稱：李亞普諾夫穩定性
• 提出者：李雅普諾夫
• 提出時間：1892年
• 套用學科：控制科學
• 適用領域範圍：數學建模
• 用途：描述動力系統穩定性

簡介

俄國數學家和力學家A.M.李雅普諾夫在1892年所創立的用於分析系統穩定性的理論。對於控制系統，穩定性是需要研究的一個基本問題。在研究線性定常系統時，已有許多判據如代數穩定判據、奈奎斯特穩定判據等可用來判定系統的穩定性。李雅普諾夫穩定性理論能同時適用於分析線性系統和非線性系統、定常系統和時變系統的穩定性，是更為一般的穩定性分析方法。李雅普諾夫穩定性理論主要指李雅普諾夫第二方法，又稱李雅普諾夫直接法。李雅普諾夫第二方法可用於任意階的系統，運用這一方法可以不必求解系統狀態方程而直接判定穩定性。對非線性系統和時變系統，狀態方程的求解常常是很困難的，因此李雅普諾夫第二方法就顯示出很大的優越性。與第二方法相對應的是李雅普諾夫第一方法，又稱李雅普諾夫間接法，它是通過研究非線性系統的線性化狀態方程的特徵值的分布來判定系統穩定性的。第一方法的影響遠不及第二方法。在現代控制理論中，李雅普諾夫第二方法是研究穩定性的主要方法，既是研究控制系統理論問題的一種基本工具，又是分析具體控制系統穩定性的一種常用方法。李雅普諾夫第二方法的局限性，是運用時需要有相當的經驗和技巧，而且所給出的結論只是系統為穩定或不穩定的充分條件；但在用其他方法無效時，這種方法還能解決一些非線性系統的穩定性問題。現在，隨著計算機技術的發展，藉助數字計算機不僅可以找到所需要的李雅普諾夫函式，而且還能確定系統的穩定區域。但是想要找到一套對於任何系統都普遍使用的方法仍很困難。

人物介紹

李雅普諾夫是俄國著名的數學家、力學家。1857年6月6日生於雅羅斯拉夫爾，1918年11月3日卒於敖德薩。19世紀以前，俄國的數學是相當落後的，直到切比雪夫創立了聖彼得堡數學學派以後，才使得俄羅斯數學擺脫了落後境地而開始走向世界前列。李雅普諾夫與師兄馬爾科夫是切比雪夫的兩個最著名最有才華的學生，他們都是彼得堡數學學派的重要成員。1876年，里雅普諾夫考入聖彼得堡大學數學系，1880年在聖彼得堡大學畢業後，留校教力學，1885年在該校獲碩士學位。1892年，他的博士論文《論運動穩定性的一般問題》在莫斯科大學通過。1892年起任哈爾科夫大學教授。1901年初被選為彼得堡科學院通訊院士，同年底成為院士。1902年起在彼得堡科學院工作。里雅普諾夫在常微分方程定性理論和天體力學方面的工作使他贏得了國際聲譽。在機率論方面，李雅普諾夫引入了特徵函式這一有力工具，從一個全新的角度去考察中心極限定理，在相當寬的條件下證明了中心極限定理，特徵函式的引入實現了數學方法上的革命。

歷史

這一穩定性以俄國數學家亞歷山大·李亞普諾夫命名，他在1892年發表了他的博士論文《運動穩定性的一般問題》，文中給出了穩定性的科學概念、研究方法和相關理論。李雅普諾夫考慮到針對非線性系統修改穩定理論，修正為以一個穩定點線性化的系統為基礎的線性穩定理論。他的作品最初以俄文發行，後翻譯為法文，但多年來默默無聞。人們對它的興趣突然在冷戰初期（1953至1962年）開始，因當所謂的“李雅普諾夫第二方法”被認為適用於航空航天制導系統的穩定性，而這系統通常包含很強的非線性，其他方法並不適用。大量的相關出版物自那時起開始出現，並進入控制系統文獻中。最近李雅普諾夫指數的概念（與李雅普諾夫穩定性第一種方法）引起了廣泛興趣，並與混沌理論結合了起來。

發展概況

從19世紀末以來，李雅普諾夫穩定性理論一直指導著關於穩定性的研究和套用。不少學者遵循李雅普諾夫所開闢的研究路線對第二方法作了一些新的發展。一方面，李雅普諾夫第二方法被推廣到研究一般系統的穩定性。例如，1957年，В．И．祖博夫將李雅普諾夫方法用於研究度量空間中不變集合的穩定性。隨後，J.P.拉薩爾等又對各種形式抽象系統的李雅普諾夫穩定性進行了研究。在這些研究中，系統的描述不限於微分方程或差分方程，運動平衡狀態已採用不變集合表示，李雅普諾夫函式是在更一般意義下定義的。1967年，D.布肖對表征在集合與映射水平上的系統建立了李雅普諾夫第二方法。這時，李雅普諾夫函式已不在實數域上取值，而是在有序定義的半格上取值。另一方面，李雅普諾夫第二方法被用於研究大系統或多級系統的穩定性。此時，李雅普諾夫函式被推廣為向量形式，稱為向量李雅普諾夫函式。用這種方法可建立大系統穩定性的充分條件。

系統的受擾運動和平衡狀態

穩定性問題的實質是考察系統由初始狀態擾動引起的受擾運動能否趨近或返回到原平衡狀態。用x0表示初始狀態擾動，則受擾運動就是系統狀態方程 凧=f(x，t)在初始時刻 t0時受到狀態擾動x()=後的解。其中x是n維狀態向量,f(x,t)是以x和時間t為自變數的一個n維非線性向量函式。在滿足一定條件時，這個狀態方程有惟一解。系統的受擾運動是隨時間 t而變化的，而其變化又與初始擾動 和作用時刻有直接的關係，數學上表示為依賴於這些量的一個向量函式，記為φ（t； ，）。在以狀態x的分量為坐標軸構成的狀態空間中，隨著時間t增加，受擾運動φ(t； ，)表現為從 點出發的一條軌線。平衡狀態是系統處於相對靜止時的運動狀態，用xe表示，其特點是對時間的導數恆等於零，可由求解函式方程f(xe，t)=0來定出。為便於表示和分析,常把平衡點xe規定為狀態空間的原點，這可通過適當的坐標變換來實現。因此李雅普諾夫第二方法可歸結為研究受擾運動軌線相對於狀態空間原點的穩定性。

李雅普諾夫意義下的穩定性

指對系統平衡狀態為穩定或不穩定所規定的標準。主要涉及穩定、漸近穩定、大範圍漸近穩定和不穩定。

穩定

用 S(ε)表示狀態空間中以原點為球心以ε為半徑的一個球域，S(δ)表示另一個半徑為 δ的球域。如果對於任意選定的每一個域S(ε),必然存在相應的一個域S(δ)，其中δ<ε，使得在所考慮的整個時間區間內，從域 S(δ)內任一點 出發的受擾運動φ(t；，)的軌線都不越出域S(ε)，那么稱原點平衡狀態 xe=0是李雅普諾夫意義下穩定的。

漸近穩定

如果原點平衡狀態是李雅普諾夫意義下穩定的,而且在時間t趨於無窮大時受擾運動φ(t；，)收斂到平衡狀態xe=0,且此過程中，都不脫離S（ε），則稱系統平衡狀態是漸近穩定的。從實用觀點看，漸近穩定比穩定重要。在套用中，確定漸近穩定性的最大範圍是十分必要的，它能決定受擾運動為漸近穩定前提下初始擾動x0的最大允許範圍。

大範圍漸近穩定

又稱全局漸近穩定，是指當狀態空間中的一切非零點取為初始擾動x0時，受擾運動φ(t；，)都為漸近穩定的一種情況。在控制工程中總是希望系統具有大範圍漸近穩定的特性。系統為全局漸近穩定的必要條件是它在狀態空間中只有一個平衡狀態。

不穩定

如果存在一個選定的球域S(ε)，不管把域S(δ)的半逕取得多么小，在S(δ)內總存在至少一個點，使由這一狀態出發的受擾運動軌線脫離域 S(ε),則稱系統原點平衡狀態xe=0是不穩定的。

連續時間系統下的定義

給定一個完備的賦范向量空間E（例如），設U是E的開子集。考慮一個自治的非線性動力系統：

其中是系統的狀態向量，是U上的連續函式。

假設函式f有一個零點：f(a) =0，則常數函式：x = a是動力系統的駐定解（或稱平衡解）。稱a是動力系統的平衡點。

1. 稱點a李雅普諾夫穩定（簡稱穩定），如果對每個，均存在，使得對所有滿足的，只要，就有。
   
2. 稱點a漸近穩定，如果點a李雅普諾夫穩定，且存在，使得對所有滿足的，。
   
3. 稱點a指數穩定，如果點a漸近穩定，且存在使得對所有滿足的，只要，就有。
   

它們的直觀幾何意義是：

1. 平衡點為李雅普諾夫穩定的，表示若動力系統狀態函式（微分方程的解函式）的初值“足夠接近”平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的範圍里（距平衡點的距離不超過任意選擇的正實數）。
   
2. 漸近穩定的意思是，初值足夠接近平衡點的狀態函式，不但維持在平衡點附近，而且最後會收斂到平衡點。
   
3. 指數穩定的意思是，狀態函式不但最後會收斂到平衡點，且收斂速度不慢於某種指數遞減的速度。
   

設有狀態函式x，其初始取值為X(T0)=X0。稱x的軌跡。如果對所有初始值與x足夠接近的狀態函式y，兩者的軌跡會趨於相同：

則稱x的軌跡有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有y均成立，則稱x有全局吸引性（globally attractive）。

如果x的軌跡有吸引性，並且穩定，則x漸近穩定。不過，x有吸引性不表示它的軌跡漸近穩定。

李雅普諾夫穩定性理論

對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普諾夫穩定性定理只提供了穩定性的充分條件。

李雅普諾夫穩定性第二定理

考慮一個函式V(x):R→R使得

• 只有在處等號成立（正定函式）
  
• （負定）
  

則V(x)稱為李雅普諾夫候選函式（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普諾夫的觀點）為漸近穩定。

上式中是必要的條件。否則，可以用來“證明”有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。

此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函式不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。

利用李雅普諾夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普諾夫函式。

李雅普諾夫第二法雖然利用數學嚴密的證明了物理世界中的物體穩定的規律，但是要尋找到虛構的能量函式V(x)：R並不容易。迄今為止還沒有一種通用的辦法找到這個函式。然而對於線性定常系統來說，找到一個使得狀態在原點平衡（xe=0）的漸進穩態的充要條件是：對於任意給定的一個對稱正定矩陣Q，一定存在唯一正定對稱矩陣P，使得原線性定常系統狀態方程成立。

有輸入值系統的穩定性

一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示：

X=F（X,U）

其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也套用在控制工程中。

對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。