正定函式

正定函式是一個在許多領域都會遇到並且很有用的概念。如機率論中隨機變數的特徵函式就是正定函式。特徵函式比隨機變數的分布函式更易於處理。在Lyapunov穩定性理論中，Lyapunov函式的正定及其導數的負定說明了系統的穩定性。

基本介紹

• 中文名：正定函式
• 外文名：positive definite function
• 套用領域：數學

定義

設 ⊂ 是包含原點的一個區域，如果定義在 上的連續函式 滿足： ，以及 ， 且 。則稱 是正定的。如果只滿足弱一點的條件，對 ，只有 ，則稱 為半正定的。

此外，如果 是正定的或者半正定的，則稱 是負定的或者半負定的。如果不能斷定 為四種情況中的某一種，則稱它是不定的。

套用

Lyapunov穩定性

設⊂是包含原點的一個區域，為定義在上滿足局部Lipschitz條件，且。對於系統，如果存在一個連續可微的正定函式使得為半負定，則原點為系統的穩定平衡點。如果進一步使得為負定的，則原點具有漸近穩定性；如果還滿足徑向無界，則原點具有全局漸近穩定性。