函式方程

函式方程

函式方程是含有未知函式方程。函式方程可以有一個解,可以無解,也可以有多個解,甚至可以有無窮多個解。

能使函式方程成立的函式叫做函式方程的解,求函式方程的解或證明函式方程無解的過程叫解函式方程。 函式方程的解法有 代換法(或換元法)、 待定係數法疊代法、 柯西法等。

基本介紹

  • 中文名:函式方程
  • 外文名:function equation
  • 含義:含有未知函式的等式
  • 解法:代換法(或換元法)等
  • 函式的解:能使函式方程成立的函式
  • 套用學科:數學
概念,定義,解,解函式方程,定理,解法,代換法,待定係數法,疊代法,柯西法,例子,

概念

定義

含有未知函式的等式叫做函式方程。如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函式

能使函式方程成立的函式叫做函式方程的解。如f(x)=x-1、偶函式、奇函式、周期函式分別是上述各方程的解

解函式方程

函式方程與代數方程、微分方程不同,並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函式和初等函式的方程的解法完全不同。
對於二元函式方程,對其變數賦予特殊值的做法較多。
例子:解函式方程
。所以
現在,設
由於實數的平方非負,以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零,因此對於所有x
,所以f(x)=0是唯一的解。

定理

若f(x)是單調(或連續)函式且滿足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、則f(x)=xf(1)
證明:由題設不難得
f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
取x1=x2=…=xn=x,得f(nx)=nf(x) (n∈N+)
令x=0,則f(0)=nf(0),解得f(0)=0 --------- (1)
x=1,則f(n)=nf(1)
x=m/n,則f(m)=nf(m/n) ,解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)
x=-m/n ,且令y=-x>0,則f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0
∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)
由上述(1)(2)(3)知:對任意有理數x均有f(x)=xf(1)
另一方面,對於任意的無理數x,因f(x)連續,取以x為極限的有理數序列,則有 :f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)
綜上所述,對於任意實數x,有
f(x)=xf(1)

解法

代換法

把函式方程中的自變數適當地以別的自變數代換(代換時應注意使函式的定義域不會發生變化),得到一個新的函式方程,然後設法求得未知函式
例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x,那么f(x)=______________。
略解:設t=2x-1,則x= (t+1)/2,那么f(t)= [(t+1)2]/4+ (t+1)/2=(t2+4t+3)/4
故f(x)=(x2+4x+3)/4
(2) 已知f(x+1)=x+2 ,那么f(x)=____________。
略解:f(x+1)=(x+1)2-1,故f(x)=x2-1 (x≥1)
(3) 已知f(x+2)=x2+2,那么f(x)=_______________。
略解:f(x+2)=(x+2)2-2,故f(x)=x2-2 (|x|≥2)
例2 設ab≠0,a2≠b2,求af(x)+bf(-t)=cx的解
解:分別用x=-t,x=t代入已知方程,得
af(-t)+bf(t)=-ct------(1)
af(t)+bf(-t)=ct------(2)
由(1)(2)組成方程組解得 f(t)=ct/a-b
即: f(x)=cx/a-b

待定係數法

當函式方程中的未知數是多項式時,可用此法經比較係數而得
例3 已知f(x)是一次函式,且f{f[f...f(x)]}=1024x+1023。求f(x)10
解:設f(x)=ax+b (a≠0),記f{f[f…f(x)]}=fn(x),則
n次
f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+b(a+1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1)
依次類推有:f10(x)=a10x+b(a9+a8+…+a+1)=a10x+...
由題設知:
a10=1024
∴a=2,b=1 或 a=-2,b=-3
∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3

疊代法

由函式方程找出函式值之間的關係,通過n次疊代得到函式方程的解法
例4 設f(x)定義在正整數集上,且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)
解:令y=1,得f(x+1)=f(x)+x+1
再依次令x=1,2,…,n-1,有
f(2)=f(1)+2
f(3)=f(2)+3
……
f(n-1)=f(n-2)+(n-1)
f(n)=f(n-1)+n
依次代入,得
f(n)=f(1)+2+3+…+(n-1)+n=
∴f(x)= n(n+1)/2
(x∈N+)
例5 ,已知f(1)= 且當n>1時有 。求f(n) (n∈N+)
解:把已知等式(遞推公式)進行整理,得
f(n-1)-f(n)=2(n+1)f(n)f(n-1)
∴ =2(n+1)
把n依次用2,3,…,n代換,得(n-1)個等式相加,得
=2[3+4+…+(n+1)]=(n-1)(n+4)
∴ f(n)= (n-1)(n+4)=n2+3n+1
∴f(n)=n2+3n+1

柯西法

在f(x)單調(或連續)的條件下,利用柯西函式方程的解求解
例6 設f(x)連續且不恆為0,求函式方程f(x+y)=f(x)f(y)的解
解:∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0
若存在x0∈R,使f(x0)=0。則對一切實數x,有
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0
這與f(x)不恆為0矛盾,故f(x)>0
對題設f(x+y)=f(x)f(y)兩邊取自然對數,得
㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)
∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)
令g(x)=㏑f(x)
∵f(x)>0且連續 ∴g(x)連續且滿足g(x+y)=g(x)+g(y)。由定理知:
g(x)=g(1)x
故 ㏑f(x)=x㏑f(1)
∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)^x
令f(1)=a,則f(x)=ax (a>0)
類似的,利用柯西函式方程的解,在連續或單調的條件下可得:
(1) 若f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0),則f(x)=㏒ax
(2) 若f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0),則f(x)=ux(u由初值給出)
(3) 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx
(4) 若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b

例子

函式方程
的解是黎曼ζ函式
函式方程
的解是伽瑪函式
函式方程
的解是伽瑪函式

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們