基本介紹
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基本信息
標題：數學與國家實力
作者：張恭慶
正文全文
世界強國與數學強國
數學實力往往影響著國家實力，世界強國必然是數學強國。數學對於一個國家的發展至關重要，已開發國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰略需求。
17-19世紀英國、法國，後來德國，都是歐洲大國，也是數學強國。17世紀英國牛頓發明了微積分，用微積分研究了許多力學、天體運動的問題，在數學上這是一場革命，由此英國曾在數學上引領了潮流。法國本來就有良好的數學文化傳統，一直保持數學強國的地位。19世紀德、法爭雄，在數學上的競爭也非常激烈，到了20世紀初德國哥廷根成為世界數學的中心。
俄羅斯數學從19世紀開始崛起，到了20世紀前蘇聯時期成為世界數學強國之一。特別是蘇聯於1958年成功發射了第一顆人造地球衛星，震撼了全世界。當時美國總統約翰·甘迺迪決心要在空間技術上趕超蘇聯。他了解到：蘇聯成功發射衛星的原因之一，是蘇聯在與此相關的數學領域處於世界的領先地位。此外，蘇聯重視基礎科學教育（包含數學教育）也是它在基礎科學研究中具有雄厚實力的一個重要原因，於是下令大力發展數學。
第二次世界大戰前美國只是一個新興國家，在數學上還落後於歐洲，但是今天他已經成為唯一的數學超級大國。戰前德國納粹排猶，大批歐洲的猶太裔數學家被迫移居美國，大大增強了美國的數學實力，為美國打勝二戰、提升戰後的經濟實力做出了巨大貢獻。蘇聯發射第一顆人造地球衛星後，美國加強了對數學研究和數學教育的投入，使得本來在科技界、工商界、軍事部門等方面就有良好套用數學基礎的美國，迅速成為一個數學強國。蘇聯、東歐解體後，美國又吸納了其中大批的優秀數學家。
數學及其基本特徵
數學是一門“研究數量關係與空間形式”(即“數”與“形”)的學科。一般地說，根據問題的來源把數學分為純粹數學與套用數學。研究其自身提出的問題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數學（又稱基礎數學）；研究來自現實世界中的數學問題的是套用數學。利用建立數學“模型”，使得數學研究的對象在“數”與“形”的基礎之上又有擴充。各種“關係”， 如“語言” “程式” “DNA排序” “選舉”、“動物行為” 等都能作為數學研究的對象。數學成為一門形式科學。
純粹數學與套用數學的界限有時也並不那么明顯。一方面由於純粹數學中的許多對象，追根溯源是來自解決外部問題（如天文學、力學、物理學等）時提出來的；另一方面，為了要研究從外部世界提出的數學問題（如分子運動、網路、動力系統、信息傳輸等）有時需要從更抽象、更純粹的角度來考察才有可能解決。
數學的基本特徵是：
一是高度的抽象性和嚴密的邏輯性。
二是套用的廣泛性與描述的精確性。它是各門科學和技術的語言和工具,數學的概念、公式和理論都已滲透在其他學科的教科書和研究文獻中；許許多多數學方法都已被寫成軟體，有的數學軟體作為商品在出售，有的則被製成晶片裝置在幾億台電腦以及各種先進設備之中，成為產品高科技含量的核心。
三是研究對象的多樣性與內部的統一性。數學是一個“有機的”整體,它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網路。高層次的網路是由低層次網路和結點組成的，後者是各種概念、命題和定理。各層次的網路和結點之間是用嚴密的邏輯連線起來的。這種連線是客觀事物內在邏輯的反映。
數學家，包括純粹數學家和部分套用數學家，他們的工作就在於：建立新的結點，尋找新的連線，清理和整合眾多的連線，並從客觀世界吸取營養來豐富、延伸這個網路。在研究現實世界的問題當中，一旦建立的數學模型和我們已有的結點或者低層次的網路相關，所有建立起來的連線都可能發揮作用，為我們提供解決問題的思路、理論和方法。
數學與當代科學技術
(一)數學與科學革命和技術革命
第一次科學革命的標誌是近代自然科學體系的形成。是以哥白尼的“日心說”為代表,後經克卜勒、伽利略,特別是牛頓等一大批科學家的推動完成的。牛頓為了研究動力學，發明了微積分。他的著作《自然哲學的數學原理》影響遍布經典自然科學的所有領域。
19世紀末到20世紀初,X射線、電子、天然放射性、DNA雙螺線結構等的發現，使人類對物質結構的認識由巨觀進入微觀，相對論和量子力學的誕生使物理學理論和整個自然科學體系以及自然觀、世界觀都發生了重大變革，成為第三次科學革命。在這次革命中，數學起了很大作用。建立相對論需要黎曼幾何，愛因斯坦本人就承認，是幾何學家走到前頭去了，他不過學了幾何學家的東西，才發明了相對論。在量子力學中用到的機率、運算元、特徵值、群論等基本概念和結論都是數學上預先準備好了的，所以數學對第三次科學革命起到了推動作用。
第一次技術革命是蒸汽機和機械的革命。
第二次技術革命是電氣和運輸的革命。雖然我們很難說出其中哪一項發明直接來自數學，但19世紀和20世紀數學家們發展了常微分方程、偏微分方程、變分學和函式論等數學分支，並把它們用於研究力學—包括流體力學和彈性力學、熱學、電磁學等中的物理問題和工程問題，推動了這些學科的發展。此外還值得一提的是：電磁波的發現是麥克斯韋先從數學推導中預見，然後由赫茲用實驗驗證的。
第三次技術革命以原子能技術、航天技術、電子計算機的套用為代表。電子計算機從構想、理論設計、研製一直到程式存儲等過程，數學家在其中起決定性的主導作用。從理論上哥德爾創建了可計算理論和遞歸理論，圖靈第一個設計出通用數字計算機，他們都是數學家。馮·諾依曼是第一台電子計算機的研製、程式和存儲的創建人，維納和香農分別是控制論和資訊理論的創始人，他們也都是數學家。
由此可見，數學差不多在歷次科技革命中，都起過先導和支柱的作用。
（二）數學與自然科學
（三）數學與社會科學
數學在社會科學，如經濟學、語言學、系統科學、管理科學中占居重要位置。現代經濟理論的研究以數學為基本工具。通過建立數學模型和數學上的推演，來探求巨觀經濟和微觀經濟的規律。從1969年到2001年間，50名諾貝爾經濟學獎得主中，有27人其主要貢獻是運用數學方法解決經濟問題。
在工業管理方面，統計質量管理起很大的作用。在運用數學理論之前，質量管理是通過事後檢驗把關來完成的，難以管控，而且成本也很高。根據機率分布的原理，可以將數理統計的方法套用到質量管理當中去，產生了統計質量管理的理論和方法。
（四）數學與數據科學
人們利用觀察和試驗手段獲取數據，利用數據分析方法探索科學規律。數理統計學是一門研究如何有效地收集、分析數據的學科，它以機率論等數學理論為基礎，是“定量分析”的關鍵學科，其理論與方法是當今自然科學、工程技術和人文社會科學等領域研究的重要手段之一。
為了處理網路上的大量數據，挖掘、提取有用的知識，需要發展“數據科學”。近年來大家都從媒體上知道掌握“大數據”的重要性。美國啟動了“大數據研究與發展計畫”，歐盟實施了“開放數據戰略”，舉辦了“歐盟數據論壇和大數據論壇”。 大數據事實上已成為信息主權的一種表現形式，將成為繼邊防、海防、空防之後大國博弈的另一個空間。此外，大數據創業將成就新的經濟成長點（電子商務—產品和個性化服務的大量定製成為可能，疾病診斷、推薦治療措施，識別潛在罪犯等）。所以 “大數據”已經成為各國政府管理人員、科技界和媒體十分關注的一個關鍵字。
（五）數學與技術科學
馬克思說過：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”今天的技術科學如信息、航天、醫藥、材料、能源、生物、環境等都成功地運用了數學。
數學與國防
在二戰中，數學家對於盟軍取勝起到了什麼作用？
馮·諾依曼是20世紀一位頂級數學家，也是第一台電子計算機程式和存儲的研製構思者。他對美國核子彈的製造做了兩大貢獻：一是幫助洛斯阿拉莫斯找到了數學化的途徑。“數學化”是指用快速計算機去模擬計算核子彈的爆炸過程和爆炸威力。二是研究爆聚炸彈，就是把一些炸彈、核子彈捆綁起來發出更大的威力。
烏拉姆是波蘭數學家，他從歐洲逃到美國後參加了曼哈頓計畫。為了模擬核實驗，他發明了蒙特卡羅計算方法。前蘇聯大數學家柯爾莫哥洛夫在二戰中提出了平穩隨機過程理論。美國數學家維納提出了濾波理論，這些理論對於排除噪音的干擾，處理雷達所得的信息發揮了作用。
英國數學家圖靈是設計出通用數字計算機的第一人。二戰中，他與一些優秀數學家一起，最終破譯了德軍所用的密碼體制Enigma。美國的密碼分析學家也於1940年破譯了日本的“紫密”密碼。1942年日本突襲中途島海戰失敗，一個重要原因是美國破譯了日本攻擊中途島的情報；1943年4月，利用所破譯的情報，美國打下了山本五十六的座機，成為密碼史上精彩的一頁。
在現代化戰爭中，數學的作用更為突出。在武器方面有核武器、遠程巡航飛彈等先進武器的較量。在信息方面有保密、解密、干擾、反干擾的較量。對策方面有戰略、策略、武器配製等方面的較量。每一項都和數學有緊密的關係。
核反應過程是在高溫高壓下進行的，核爆炸的巨大能量在微秒量級的時間內釋放出來，很難在核試驗中測量出核爆炸內部的細微過程，只能得到一些綜合效應的數據。但通過核反應過程的數學模型，進行數值計算卻可以給出爆炸過程中各個細節的圖像、定量的數據以及各種因素與機制的相互作用。在參加全面禁止核試驗條約後，通過數值計算模擬核試驗就更重要了。
信息的“加密”與“解密”是一種對抗，正如人們所說 “魔高一尺，道高一丈”。而這種對抗力量的表現全在所依靠的數學理論之上。例如，公開密鑰算法大多基於計算複雜度很高的難題，要想求解，需要在高速計算機上耗費許多時日才能得到答案。這些方法通常來自於數論。例如，RSA源於整數因子分解問題，DSA源於離散對數問題，而近年發展快速的橢圓曲線密碼學則基於與橢圓曲線相關的數學問題。自從費曼提出量子計算機以來，人們希望設計出一種計算機，它能實現在馮·諾依曼計算機上不能實現的算法。如果一旦能把某種類型的計算速度大大增加，那么破解現有的密碼就有可能。1994年數學家Shor已經對假想的量子計算機，提出了一種大合數的因子分解方法，其複雜度大大降低，使得在量子計算機上有可能破解許多現有的密碼。
數學與國民經濟
現代醫療診斷中常用的CT掃描技術，其原理是數學上的拉東變換。 CT螺旋式的運動路線記錄X光斷層的信息。計算機將所有的掃描信息按數學原理進行整合，形成一個詳細的人體影像。在更先進的生物光學成像技術的研究中也吸引了不少數學家的參與。
藥物檢驗—要評估一種新藥能否上市，需要經過新藥療效測試，這就要科學地設計試驗，以排除各種隨機性的干擾，真正評估出藥物的效果和毒性。為此，人們設計出了雙盲試驗等試驗手段。國外流行的SAS軟體，是藥物檢驗的必經之徑。已開發國家製藥公司聘用大批擁有數理統計學位的雇員從事藥檢工作。
國際金融市場用“金融高技術”運作。“金融數學”是利用數學工具來研究金融，進行數學建模、理論分析、數值計算等定量分析的一種金融高技術。它是數學和計算技術在金融領域的套用。華爾街和一些已開發國家大銀行、證券公司高薪雇用大批高智商的數學、物理博士從事資本資產定價、套利、風險評估、期貨定價等方面的工作。
已開發國家的保險業中早已使用“精算”為金融決策提供依據。精算學是一門運用機率、統計等數學理論和多種金融工具，研究如何處理保險業及其他金融業中各種風險問題的定量方法和技術的學科，是現代保險業、金融投資業和社會保障事業發展的理論基礎。
災害預測與風險評估關乎國計民生。數值模擬是大氣科學、地震預測等實驗性科學中的重要實驗手段。而要提高預測的準確性必須縮小計算格線 (提高解析度)、複雜化物理過程，這些都導致計算量呈幾何級數增加，解決的途徑不僅要加大計算機、加快計算機的速度，還要改進數學方法。
有關的研究表明，我們國家計算軟體工業相對落後，並不是因為我們缺少一般的程式人員，而是缺乏有較高數學修養的高水平的程式開發人員。與此相對照的是，比如貝爾實驗室、朗訊、IBM、微軟、谷歌、雅虎這類IT行業領袖，不但大量地招聘數學專業的博士、碩士到公司工作，而且還專門設有相當規模的數學研究部門，支持數學家開展純粹數學理論研究，以確保長期的核心競爭力。IBM公司還為本公司五萬名諮詢人員建立了數學學歷檔案，以便能夠針對每項工作任務，指派最合適的團隊人員。
數學與文化教育
（一）數學是一種文化
數學作為現代理性文化的核心，提供了一種思維方式。這種思維方式包括：抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內在的聯繫，在更大範圍內進行概括，建立更為一般的統一理論等一整套嚴謹的、行之有效的科學方法。按照這種思維方式，數學使得各門學科的理論知識更加系統化、邏輯化。
作為一種文化，它的特點在於：
—追求一種完全確定的、完全可靠的知識。在數學上是非分明，沒有模稜兩可。即使對於“偶然”發生的隨機現象，對於“不確定”的事件，也要提出精確的概念和研究方法，確切回答某個事件發生的機率是多少，在什麼確切的範圍以內等等。
—追求更深層次的、更為簡單的、超出人類感官的基本規律。數學家們是把原始的來自實際的問題，經過了層層抽象，在抽象的、仍然是客觀事物真實反映的更深層次上來考察、研究其內在規律。
—它不僅研究宇宙的規律，而且也研究它自己。特別是研究自身的局限性，並在不斷否定自身中達到新的高度。由此可見，數學文化是一種非常實事求是的文化，它體現了一種真正的探索精神，一種毫不保守的創新精神。
（二）數學教育的重要性
在知識社會，數學對於國民素質的影響至關重要。1984年美國國家研究委員會在《進一步繁榮美國數學》中提出：“在現今這個技術發達的社會裡，掃除‘數學盲’的任務已經替代了昔日掃除文盲的任務，而成為當今教育的主要目標”。1993年美國國家研究委員會又發表了《人人關心數學教育的未來》的報告，提出：“除了經濟以外，對數學無知的社會和政治後果給每個民主政治的生存提出了驚恐的信號。因為數學掌握著我們的基於信息的社會的領導能力的關鍵。” 當年讀了這後一段話，很不理解，發生“稜鏡事件”之後才恍然大悟。
在我國有沒有掃除“數學盲”的必要？答案是肯定的。
普及數學知識。信息社會對於公民的邏輯能力要求明顯提高。中、國小數學教育最主要的目的之一，應當在於提高學生的邏輯能力。因此數學作為一種“思想的體操”，應該是中、國小義務教育最重要的組成部分。此外，多舉辦各種科學普及講座，向公眾普及數學知識，介紹數學在各個領域中的套用也是必要的。
數學開闊人的視野，增添人的智慧。一個人是否受過這種文化薰陶，在觀察世界、思考問題時會有很大差別。數學修養不但對於一般科學工作者很重要，就是有了數學修養的經營者、決策者，在面臨市場有多種可能的結果，技術路線有多種不同選擇時，也有可能減少失誤。億萬富翁詹姆斯·賽蒙斯就是一個最好的例證。在進入華爾街之前，賽蒙斯是個優秀的數學家，進入華爾街之後，他和巴菲特的“價值投資”理念不同，賽蒙斯依靠數學模型和電腦管理旗下的巨額基金，用數學模型捕捉市場機會，由電腦做出交易決策。他稱自己為“模型先生”，認為建立好的數學模型可以有效地降低風險。
