機率

機率亦稱“或然率”。它反映隨機事件出現的可能性(likelihood)大小。隨機事件是指在相同條件下,可能出現也可能不出現的事件。例如,從一批有正品和次品的商品中,隨意抽取一件,“抽得的是正品”就是一個隨機事件。設對某一隨機現象進行了n次試驗與觀察,其中A事件出現了m次,即其出現的頻率為m/n。經過大量反覆試驗,常有m/n越來越接近於某個確定的常數(此論斷證明詳見伯努利大數定律)。該常數即為事件A出現的機率,常用P (A) 表示。

基本介绍

  • 中文名:機率
  • 外文名:probability
  • 學科:數學
  • 領域:機率論
  • 領域:統計學
  • 別稱:或然率、可能性
歷史,定義,來源,古典定義,頻率定義,統計定義,公理化定義,性質,名詞,事件,概型,區別頻率,

歷史

第一個系統地推算機率的人是16世紀卡爾達諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關於機率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。
機率
卡爾達諾的數學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。然而,首次提出系統研究機率的是在帕斯卡費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的,他想找費馬請教幾個關於由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家,路易十四宮廷的顯要,也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個:擲骰子問題和比賽獎金分配問題。
機率是度量偶然事件發生可能性的數值。假如經過多次重複試驗(用X代表),偶然事件(用A代表)出現了若干次(用Y代表)。以X作分母,Y作分子,形成了數值(用P代表)。在多次試驗中,P相對穩定在某一數值上,P就稱為A出現的機率。如偶然事件的機率是通過長期觀察或大量重複試驗來確定,則這種機率為統計機率或經驗機率。研究支配偶然事件的內在規律的學科叫機率論。屬於數學上的一個分支。機率論揭示了偶然現象所包含的內部規律的表現形式。所以,機率,對人們認識自然現象和社會現象有重要的作用。比如,社會產品在分配給個人消費以前要進行扣除,需扣除多少,積累應在國民收入中占多大比重等,就需要運用機率論來確定。

定義

來源

機率(Probability)一詞來源於拉丁語“probabilitas”,又可以解釋為 probity.Probity的意思是“正直、誠實”,在歐洲probity用來表示法庭案例中證人證詞的權威性,且通常與證人的聲譽相關。總之與現代意義上的機率“可能性”含義不同。

古典定義

如果一個試驗滿足兩條:
(1)試驗只有有限個基本結果;
(2)試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。
這樣的試驗便是古典試驗。
對於古典試驗中的事件A,它的機率定義為:P(A)=
,其中n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義機率的方法稱為機率的古典定義。

頻率定義

隨著人們遇到問題的複雜程度的增加,等可能性逐漸暴露出它的弱點,特別是對於同一事件,可以從不同的等可能性角度算出不同的機率,從而產生了種種悖論。另一方面,隨著經驗的積累,人們逐漸認識到,在做大量重複試驗時,隨著試驗次數的增加,一個事件出現的頻率,總在一個固定數的附近擺動,顯示一定的穩定性。R.von米澤斯把這個固定數定義為該事件的機率,這就是機率的頻率定義。從理論上講,機率的頻率定義是不夠嚴謹的。

統計定義

在一定條件下,重複做n次試驗,nA為n次試驗中事件A發生的次數,如果隨著n逐漸增大,頻率nA/n逐漸穩定在某一數值p附近,則數值p稱為事件A在該條件下發生的機率,記做P(A)=p。這個定義稱為機率的統計定義。
在歷史上,第一個對“當試驗次數n逐漸增大,頻率nA穩定在其機率p上”這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。
從機率的統計定義可以看到,數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指標
由於頻率
總是介於0和1之間,從機率的統計定義可知,對任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)=1,P(Φ)=0。其中Ω、Φ分別表示必然事件(在一定條件下必然發生的事件)和不可能事件(在一定條件下必然不發生的事件)。

公理化定義

柯爾莫哥洛夫於1933年給出了機率的公理化定義,如下:
設E是隨機試驗,S是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數,記為P(A),稱為事件A的機率。這裡P(A)是一個集合函式,P(A)要滿足下列條件:
(1)非負性:對於每一個事件A,有P(A)≥0;
(2)規範性:對於必然事件Ω,有P(Ω)=1;
(3)可列可加性:設A1,A2……是兩兩互不相容的事件,即對於i≠j,Ai∩Aj=φ,(i,j=1,2……),則有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

性質

機率具有以下7個不同的性質:
性質1:P(Φ)=0;
性質2:(有限可加性)當n個事件A1,…,An兩兩互不相容時: P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An);
性質3:對於任意一個事件A:P(A)=1-P(非A);
性質4:當事件A,B滿足A包含於B時:P(B-A)=P(B)-P(A),P(A)≤P(B);
性質5:對於任意一個事件A,P(A)≤1;
性質6:對任意兩個事件A和B,P(B-A)=P(B)-P(A∩B);
性質7:(加法公式)對任意兩個事件A和B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

名詞

事件

在一個特定的隨機試驗中,稱每一可能出現的結果為一個基本事件,全體基本事件的集合稱為基本空間。隨機事件(簡稱事件)是由某些基本事件組成的,例如,在連續擲兩次骰子的隨機試驗中,用Z,Y分別表示第一次和第二次出現的點數,Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6,每一點(Z,Y)表示一個基本事件,因而基本空間包含36個元素。“點數之和為2”是一事件,它是由一個基本事件(1,1)組成,可用集合{(1,1)}表示,“點數之和為4”也是一事件,它由(1,3),(2,2),(3,1)3個基本事件組成,可用集合{(1,3),(3,1),(2,2)}表示。如果把“點數之和為1”也看成事件,則它是一個不包含任何基本事件的事件,稱為不可能事件。P(不可能事件)=0。在試驗中此事件不可能發生。如果把“點數之和小於40”看成一事件,它包含所有基本事件,在試驗中此事件一定發生,稱為必然事件。P(必然事件)=1。實際生活中需要對各種各樣的事件及其相互關係、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關係等進行研究。
在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件,叫做隨機事件
通常一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現的結果有n個,即此實驗由n個基本事件組成,而且所有結果出現的可能性都相等,那么這種事件就叫做等可能事件
互斥事件:不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件
對立事件:即必有一個發生的互斥事件叫做對立事件

概型

  • 古典概型
古典概型討論的對象局限於隨機試驗所有可能結果為有限個等可能的情形,即基本空間由有限個元素或基本事件組成,其個數記為n,每個基本事件發生的可能性是相同的。若事件A包含m個基本事件,則定義事件A發生的機率為p(A)=
,也就是事件A發生的機率等於事件A所包含的基本事件個數除以基本空間的基本事件的總個數,這是P.-S.拉普拉斯的古典概型定義,或稱之為機率的古典定義。歷史上古典概型是由研究諸如擲骰子一類賭博遊戲中的問題引起的。計算古典概型,可以用窮舉法列出所有基本事件,再數清一個事件所含的基本事件個數相除,即藉助組合計算可以簡化計算過程。
  • 幾何概型
幾何概型若隨機試驗中的基本事件有無窮多個,且每個基本事件發生是等可能的,這時就不能使用古典概型,於是產生了幾何概型。幾何概型的基本思想是把事件與幾何區域對應,利用幾何區域的度量來計算事件發生的機率,布豐投針問題是套用幾何概型的一個典型例子。
設某一事件A(也是S中的某一區域),S包含A,它的量度大小為μ(A),若以P(A)表示事件A發生的機率,考慮到“均勻分布”性,事件A發生的機率取為:P(A)=μ(A)/μ(S),這樣計算的機率稱為幾何概型。若Φ是不可能事件,即Φ為Ω中的空的區域,其量度大小為0,故其機率P(Φ)=0。
機率論發展的早期,人們就注意到古典概型僅考慮試驗結果只有有限個的情況是不夠的,還必須考慮試驗結果是無限個的情況。為此可把無限個試驗結果用歐式空間的某一區域S表示,其試驗結果具有所謂“均勻分布”的性質,關於“均勻分布”的精確定義類似於古典概型中“等可能”只一概念。假設區域S以及其中任何可能出現的小區域A都是可以度量的,其度量的大小分別用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長度,二維空間的面積,三維空間的體積等。並且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質,如度量的非負性、可加性等。

區別頻率

對事件發生可能性大小的量化引入“機率”。獨立重複試驗總次數n,事件A發生的頻數μ,事件A發生的頻率Fn(A)=μ/n,A的頻率Fn(A)有沒有穩定值?如果有,就稱頻率μ/n的穩定值p為事件A發生的機率,記作P(A)=p(機率的統計定義)。
P(A)是客觀的,而Fn(A)是依賴經驗的。統計中有時也用n很大的時候的Fn(A)值當機率的近似值。

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