拋物線方程

拋物線方程是指拋物線的軌跡方程，是一種用方程來表示拋物線的方法。在幾何平面上可以根據拋物線的方程畫出拋物線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函式圖像。

基本介紹

• 中文名：拋物線方程
• 外文名：parabolic equation
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學、物理、建築學等
• 解釋：指拋物線的軌跡方程

定義

拋物線定義：平面內與一個定點F 和一條直線l 的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F 叫做拋物線的焦點，直線l 叫做拋物線的準線，定點F不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e=1時為拋物線，當0<e<1時為橢圓，當e>1時為雙曲線。

方程

拋物線的標準方程有四種形式，參數p的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形式方程的幾何性質（如下表）：其中P(x0,y0)為拋物線上任一點。

標準方程	y^2=2px（p>0）	y^2=-2px（p>0）	x^2=2py（p>0）	x^2=-2py（p>0）
圖形
範圍	x≥0，y R	x≤0，y R	y≥0，x R	y≤0，x R
對稱軸	X軸		y軸
頂點坐標	原點O(0,0)
焦點坐標	（ ，0）	（ ，0）	（0， ）	（0， ）
準線方程
離心率	e = 1
焦半徑

對於拋物線y^2=2px(p≠0)上的點的坐標可設為( ,y₀)，以簡化運算。

拋物線的焦點弦：設過拋物線y^2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交於A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線OA與OB的斜率分別為k₁,k₂，直線l的傾斜角為α，則有y₁y₂=-p^2，x₁x₂= ，k₁k₂=-4，|OA|= ,|OB|= ,|AB|=x₁+x₂+p。

幾何性質

方程的具體表達式為y=ax^2+bx+c

⑴a 0

⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點（頂點）：（ ， ）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ>0，圖象與x軸交於兩點：

（ ，0）和（ ，0）；

Δ=0，圖象與x軸交於一點：

（ ，0）；

Δ<0，圖象與x軸無交點；

(5)對稱軸(頂點)在y 軸 左側時 , a ,b 同號 ,對稱軸 (頂點 ) 在 y 軸右側時,a 、b 異號；對稱軸(頂點)在y軸上時, b=0，拋物線的頂點在原點時, b=c=0。

(6)當x=0時，可通過與y軸交點判斷c值，即若拋物線交y軸為正半軸，則c>0；若拋物線交y軸為負半軸，則c<0。