拋物線拱

拋物線拱(parabolic arch)是幾何學術語，指工程建築上常用的一種拱形，例如橋拱，它的拱軸線比較理想的是採用懸鏈線y=a(e^x/a+e^-x/a)/2，拋物線只是它的一種近似曲線。

基本介紹

• 中文名：拋物線拱
• 外文名：parabolic arch
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面解析幾何

基本介紹

所謂拋物線拱，就是由拋物線弧構成的拱，如圖1所示，其中拋物線弧兩端點間的水平長度稱為拋物線拱的跨度，常用 表示；拋物線弧的垂直高度稱為拋物線拱的矢高，常用f表示。由於拋物線拱具有力學性能好、省材料等優點，所以廣泛地套用於土木工程中，如拋物線拱屋蓋(或屋架)、拋物線拱橋等。下面先來建立跨度為l、矢高為f的拋物線拱的方程；再舉個例子說明它的套用。

圖1 (a)

圖2（b）

當把拋物線拱放到坐標系中，如圖1(a)所示的情況時，易知點A的坐標為 ，點B的坐標為 。因為該拋物線的頂點在原點、對稱軸為y軸，所以應設該拋物線方程為

其中p為待定常數。

由於點A 在拋物線上，其坐標必滿足(1)，把它代人(1)，解得 ，把這個值代入(1)，就得圖示坐標系下拋物線拱的方程為

當把拋物線拱放到坐標系中，如圖1(b)所示時，易知點O、A、B的坐標分別為 。因為該拋物線的對稱軸平行於y軸， 所以應設該拋物線方程為

y=ax²+bx+c(其中a、b、c為待定常數). (3)

由於點 在拋物線上，其坐標必滿足方程(3)，把它代入(3)，解得 把它們代入(3)，就得圖示坐標系下拋物線拱的方程為

即

方程(2)和(4)就是土建設計和施工中常用的跨度為l、矢高為f的拋物線拱的方程。

圖2

例題解析

【例1】欲建造一個跨度為12m、矢高為2m的鋼筋混凝士拋物線拱，施工時需預製拱模。如規定每隔一米立一個垂直支撐，問各垂直支撐的長度為多少米?

圖3

解：把拋物線拱放到坐標系中去，如圖3所示。易知l=OM =12m，f=KL=2m；代入(4)，得拋物線拱的方程為

因點B、D、F、H、J都在拋物線拱上，把它們的橫坐標代入拋物線拱的方程後，就可得相應的縱坐標的值:

類似地可算得EF=1.50( m )，GH≈1.78( m )，IJ≈1.94( m)。

利用對稱性，易得右半部垂直支撐的尺寸。