函式關係

函式關係

確定性現象之間的關係常常表現為函式關係,即一種現象的數量確定以後,另一種現象的數量也隨之完全確定,表現為一種嚴格的函式關係。當一個或幾個變數取一定的值時,另一個變數有確定值與之對應,則稱這種關係為確定性的函式關係,記為y=f(x),其中x稱為自變數,y稱為因變數。

例如,某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關係可表示為y=px(p為單價);圓的面積S與半徑R之間的關係可表示為S=πR2;企業的原材料消耗額Y與產量X1、單位產量消耗X2、原材料價格X3之間的關係可表示為Y=X1X2X3;一隻股票的成交額與該股票的成交量之間的關係,保持成交價格P不變的情況下,當股票的成交量X確定後,其成交額Y也隨之確定,三者之間的關係是:Y=PX。

函式關係常用的三種表示方法是列表法解析法圖象法

基本介紹

  • 中文名:函式關係
  • 外文名:functional relationship
  • 所屬學科:數學
  • 特點:一個變數有唯一確定值與之相對應
  • 相關概念:定義域、值域、相關關係等
定義,注意點,函式關係的建立,方法步驟,舉例說明,幾類常見的函式關係模型,一次函式模型,反比例函式模型,二次函式模型,指數型函式模型,對數型函式模型,冪型函式模型,函式關係與相關關係的區分,相關關係的定義,二者的的區分,

定義

設A和B是兩個給定的集合
是從集合A到集合B的一個二元關係。如果這個二元關係還滿足下面的性質:對每個元素
,存在唯一的元素
,使得二元序偶
,就稱這個二元關係是從集合A到集合B的一個函式或者映射。記作
或者
也可改寫為
,其中y稱為x的,而x則稱為y的原象。稱集合A是函式的定義域,集合A中所有元素在函式
的作用下得到的所有象的集合稱為函式
的象或函式
值域
為了進一步區分不同特性的函式,給出細分的定義。
是從集合A到集合B的一個函式。
(1)如果
,則稱函式
是從集合A到集合B的一個單射
(2)如果
,則稱函式
是從集合A到集合B的一個滿射
(3)如果函式
既是從集合A到集合B的一個單射.又是從集合A到集合B的一個滿射,則稱它是從集合A到集合B的一個雙射

注意點

關於函式定義的幾點說明:
(1)如果
是從集合A到集合B的一個函式,那么集合A中每個元素必須都有象,且象必須唯一。
(2)如果
是從集合A到集合B的一個函式.那么集合B中每個元素不一定都有原象,且當有原象時,原象也不一定唯一。
(3)根據函式的定義可知,兩個函式是否相等。需要看:二者的定義域是否相同;對於定義域內的每一個元素.它在這兩個函式作用下的象是否恆相同。

函式關係的建立

方法步驟

對於實際問題,明確其中各種量及量之間的關係,建立正確的函式關係十分重要。在建立函式關係時,首先要確定問題中的自變數與因變數,再根據它們之間的關係列出等式,得出函式關係式,然後確定函式定義域,確定定義域時,不僅要考慮到函式關係的解析式,還要考慮到變數在實際問題中的含義。
建立函式關係的基本步驟:
①明確問題中的因變數自變數,並以適當記號表示;
②尋找等量關係,建立函式關係;
③確定函式的定義域

舉例說明

下面舉例說明如何建立函式關係。
例1 某商場銷售某種商品8000件,每件原價70元,當銷售量在5000件以內(包含5000件)時,按照原價出售,超過5000件部分,打八折銷售。試建立總銷售收入與銷售量之問的函式關係。
解:設銷售量為x件,總銷售收入為R元,總銷售收人與銷售量之間的函式關係為
例2 某工廠生產某種型號的車床,年產量為a台,分若干批次進行生產,每批次的生產準備費為b元,設產品均勻投入市場,且上一批用完後立即生產下一批,即平均庫存量為批量的一半,設每年每台庫存費為c元,顯然,生產批量大則庫存費高;生產批量少則批數增多,因而生產準備費高,為了選擇最優批量,試求出一年中庫存費與生產準備費的和與批量之問的關係。
解:設批量為x,庫存費與生產準備費的和為P(x),因年產量為a,所以每年生產的批數為
(設其為整數),則生產準備費為
,因庫存量為a,故庫存費為
,因此可得
定義域為(0,a],因本題中的x為車床的台數,批數
為整數,所以x只應取(0,a]中的a的正整數因子。
例3 某牧場要建造占地100m2的矩形圍牆,現有一排長20m的舊牆可供利用,為了節約投資,矩形圍牆的一邊直接用舊牆修,另外三邊儘量用拆去的舊牆改建,不足部分用購置的新磚新建,已知整修1m舊牆需24元,拆去1m舊牆改建成1m新牆需100元,建造1m新牆需200元,設舊牆所保留的部分用x表示,整個投資用y表示,將y表示為x的函式。
解:整個投資的費用包括整修舊牆的費用、拆舊改新的費用以及建造新牆的費用,所以所求函式關係為
例4 某地區上年度電價為0.8元/(kW·h),年用電量為a kW·h,本年度將電價降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之間,而用戶期望電價為0.4元/(kW·h),經測算,下調電價後新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例係數為k),該地區的電力成本為0.3元/(kW·h),寫出本年度電價下調後,電力部門的收益y與實際電價x的函式關係式。
解:收益=實際用電量×(實際電價-成本價)。
所以所求函式關係式為

幾類常見的函式關係模型

一次函式模型

(
常數
).

反比例函式模型

(
為常數,
).

二次函式模型

(
為常數,
).

指數型函式模型

(
為常數,
).

對數型函式模型

(
為常數,
).

冪型函式模型

(
為常數,
).

函式關係與相關關係的區分

相關關係的定義

當變數X取某個值時,變數Y的取值可能有若干個,這些數值表現為一定的波動性,但總是圍繞著它們的平均數,並遵循一定的規律變動。變數之間存在的這種不確定的數量關係稱為相關關係。特點:Y與X的值不一一對應;Y與X的關係不能用函式式嚴格表達,但有規律可循。
例如:父親身高Y與子女身高X之間的關係;收入水平Y與受教育程度X之間的關係;糧食畝產量Y與施肥量X1、降雨量X2、溫度X3之間的關係;商品的消費量Y與居民收入X之間的關係;商品銷售額Y與廣告費支出X之間的關係。

二者的的區分

區分相關關係與函式關係的依據全憑因變數取值的確定性:若因變數的取值是確定的、唯一的,則兩個變數之間的關係稱為函式關係;若因變數的取值是不確定的,則兩個變數之間的關係稱為相關關係。
例5 試判定下列變數之間屬於函式關係,還是相關關係。
(1)圓面積與圓半徑 (2)價格確定下商品的銷售額與銷售量
(3)人們的身高與體重 (4)商品廣告費支出與銷售額
(5)家庭月收入與月支出 (6)施肥量與畝產量
(7)文化程度與年收入 (8)圖書印數與圖書價格
(9)商品銷售額與商品流通費用率 (10)可變銷售價格與商品銷售額
解:按照函式關係和相關關係的定義與區別,本例中,第(1)、第(2)為函式關係,其餘均為相關關係。
注意:變數之間的函式關係和相關關係在一定條件下是可以相互轉化的。本來具有函式關係的變數,在存在觀測誤差時,其函式關係往往以相關的形式表現出來。而具有相關關係的變數之間的聯繫,如果對其有深刻的規律性認識,並且能夠把影響因變數變化的因素全部納入方程,這時相關關係也可能轉化為函式關係。另外,相關關係也具有某種變動規律性,所以,相關關係經常可以用一定的函式形式去近似地描述。客觀現象的函式關係可以用數學分析的方法研究,而研究客觀現象的相關關係,則必須藉助於統計學中的相關與回歸分析方法。

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