成本函式

長短期

用表格表示長短期成本函式的基本情況：

從模型的描述和比較W1，W2，很容易得到一些關於長期成本函式和短期成本函式的關係。

性質1：給定要素價格，對任意的產量y，和任意的固定要素量X2，一定有C(W1，W2，Y))≤C(W1，W2，Y，X)。

證明：因為短期成本函式模型相對與長期成本函式的模型，所有條件都一樣，只是增加了一條約束條件。所以短期成本函式模型中的可行域小於長期成本函式模型的可行域，從而前者的最小目標函式值不可能比後者的最小目標函式值值更小。而模型最小目標函式值正是成本函式值。

說明：這條性質說明，長期成本曲線在任意一條短期成本曲線的下方。

性質2：給定要素價格W1，W2，對任意的產量y，存在某個固定要素量X2，使得C(W1，W2，Y)=C(W1，W2，Y，X)。

證明：事實上，取*x2=x2=x2(w1，w2，y)，則從預算約束的成立，可以推知，一定有x(w1，w2，y，x)=x(w1，w2，y)，從而：C(w1，w2，y)=w1x1(w1，w2，y)+w2x2*=wx1(w，w，y，x*)+w2x2*=C(w1，w2，y，x*)。

說明：這條性質說的是，長期成本上的任意一點，都有一條短期成本線可以達到它。

性質3：給定要素價格W1，W2，對任意的產量y，由性質2知道存在某個固定要素量X2，使得C(w1，w2，y)=C(w1，w2，y，x)。那么對於任意的y′≠y，一定有1：C(w1，w2，y′)

證明：因為在y′下，要素x1=x1(w1，w2y′)，x2=x2(w1，w2，y′)是最優選擇，所以對任意能生產出y′的其他要素組合x1′，x2′，一定有：w1x1(w1，w2，y′)+w2x2(w1，w2，y′)

說明：這條性質說的是，對於長期成本上的任一點，有一條短期成本曲線可以達到它。但是這條短期成本曲線在其他產量水平下，都是高於長期成本曲線的。這也就是說，在長期成本的任一點，不僅有一條短期成本曲線達到它，並且是以和它相切的方式達到。

性質1，2描述的一般性曲線關係，就叫做“包絡”關係。說白了，就是包絡線在下面，包住了所有曲線，並且包絡線的每一點，要能被曲線族中的某一條曲線取到。上述是成本曲線的關係，平均成本曲線就是在所有等式、不等式兩邊同除以y，所有性質還是成立的。於是，長期平均成本一樣是短期平均成本的包絡線。