克羅內克積

數學上，克羅內克積是兩個任意大小的矩陣間的運算。克羅內克積是張量積的特殊形式，以德國數學家利奧波德·克羅內克命名。

基本介紹

• 中文名：克羅內克積
• 外文名：Kronecker product
• 形式：矩陣間的運算
• 命名：數學家利奧波德·克羅內克命名
• 套用學科：數學
• 所屬領域：代數和代數數論

定義

如果A是一個m×n的矩陣，而B是一個p×q的矩陣，克羅內克積則是一個mp×nq的分塊矩陣

更具體地可表示為

例子

特性

雙線性結合律

克羅內克積是張量積的特殊形式，因此滿足雙線性與結合律：

其中，A,B和C是矩陣，而k是常量。

克羅內克積不符合交換律：通常，不同於。

和是置換等價的，也就是說，存在置換矩陣P和Q，使得

如果A和B是方塊矩陣，則和甚至是置換相似的，也就是說，我們可以取P=Q。

混合乘積性質

如果A、B、C和D是四個矩陣，且矩陣乘積AC和BD存在，那么：

這個性質稱為“混合乘積性質”，因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出，是可逆的若且唯若A和B是可逆的，其逆矩陣為：

克羅內克和

如果A是n×n矩陣，B是m×m矩陣，表示k×k單位矩陣，那么我們可以定義克羅內克和為：

與抽象張量積

矩陣的克羅內克積對應於線性映射的抽象張量積。特別地，如果向量空間V、W、X和Y分別具有基{v₁, ... , v_m}、 {w₁, ... , w_n}、{x₁, ... , x_d}和{y₁, ... , y_e}，且矩陣A和B分別在恰當的基中表示線性變換S:V→X和T:W→Y，那么矩陣A⊗B表示兩個映射的張量積S⊗T:V⊗W→X⊗Y，關於V⊗W的基{v₁⊗ w₁, v₁⊗ w₂, ... , v₂⊗ w₁, ... , v_m⊗ w_n}和X⊗Y的類似基。

與圖的乘積

兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克和，則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。

轉置

克羅內克積轉置運算符合分配律：

矩陣方程

克羅內克積可以用來為一些矩陣方程得出方便的表示法。例如，考慮方程AXB=C，其中A、B和C是給定的矩陣，X是未知的矩陣。我們可以把這個方程重寫為

這樣，從克羅內克積的性質可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，若且唯若A和B是非奇異矩陣。（Horn & Johnson 1991，Lemma 4.3.1）.

在這裡，vec(X)表示矩陣X的向量化，它是把X的所有列堆起來所形成的列向量。

如果把X的行堆起來，形成列向量x，則AXB也可以寫為（Jain 1989，2.8 block Matrices and Kronecker Products）。

歷史

儘管沒有明顯證據證明利奧波德·克羅內克是第一個定義並使用這一運算的人，克羅內克積還是以其名字命名。確實，在歷史上，克羅內克積曾以Johann Georg Zehfuss名字命名為Zehfuss矩陣。