cosh

在數學中，雙曲函式是一類與常見的三角函式（也叫圓函式）類似的函式。最基本的雙曲函式是雙曲正弦函式 sinh 和雙曲餘弦函式 cosh，從它們可以導出雙曲正切函式 tanh 等，其推導也類似於三角函式的推導。雙曲函式的反函式稱為反雙曲函式。

雙曲函式的定義域是實數，其自變數的值叫做雙曲角。雙曲函式出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。

基本介紹

• 中文名：雙曲函式
• 外文名：cosh
• 用途：返回參數的雙曲餘弦值。
• 語法：COSH(number)
• 簡寫：ch

基本定義

函式 是關於y軸對稱的偶函式。函式 是奇函式。

如同當 遍歷實數集時，點（ ）的軌跡是一個圓 一樣，當t遍歷實數集時，點（）的軌跡是單位雙曲線的右半邊。這是因為有以下的恆等式：

參數t不是圓角而是雙曲角，它表示在x軸和連線原點和雙曲線上的點（的直線之間的面積的兩倍。

歷史

在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函式，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函式是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊線上 y=x上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函式，是自然對數的逆函式指數函式，即要形成指定雙曲角u，在漸近線即x或y軸上需要有的x或y的值。顯見這裡的底邊是 ，垂線是

通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：

單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線{\displaystyle xy=1}下雙曲角的 1/2。

虛數圓角定義

雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果x是實數而i= −1，則

所以雙曲函式cosh和sinh可以通過圓函式來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函式表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成cosh函式，後者形成了sinh函式。cos函式的無窮級數可從cosh得出，通過把它變為交錯級數，而sin函式可來自將sinh變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數i，從三角函式的級數的項中去掉交錯因子(−1)，來恢復為指數函式的那兩部分級數。

雙曲函式可以通過虛數圓角定義為：

這些複數形式的定義得出自歐拉公式。