拉普拉斯方程（Laplace's equation）又稱調和方程、位勢方程，是一種偏微分方程，因由法國數學家拉普拉斯首先提出而得名。
拉普拉斯方程表示液面曲率與液體表面壓強之間的關係的公式。
基本介紹
- 中文名：拉普拉斯方程
- 外文名：Laplace's equation
- 別稱：調和方程、位勢方程
- 提出者：拉普拉斯
- 關鍵字：微分方程、拉普拉斯定理
- 涉及領域：電磁學、天體物理學、力學、數學
基本概述,在數理方程中,方程的解,二維方程,人物介紹,
基本概述
一個彎曲的表面稱為曲面，通常用相應的兩個曲率半徑來描述曲面，即在曲面上某點作垂直於表面的直線，再通過此線作一平面，此平面與曲面的截線為曲線，在該點與曲線相切的圓半徑稱為該曲線的曲率半徑R1。通過表面垂線並垂直於第一個平面再作第二個平面並與曲面相交，可得到第二條截線和它的曲率半徑R2，用 R1與R2可表示出液體表面的彎曲情況。若液面是彎曲的，液體內部的壓強p1與液體外的壓強p2就會不同，在液面兩邊就會產生壓強差△P= P1- P2，稱附加壓強，其數值與液面曲率大小有關，可表示為：
，式中γ是液體表面張力係數，該公式稱為拉普拉斯方程。
在數理方程中
拉普拉斯方程為：
，其中∇2為拉普拉斯運算元，此處的拉普拉斯方程為二階偏微分方程。三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數x、y、z二階可微的實函式φ ：
其中∇2稱為拉普拉斯運算元。
拉普拉斯方程的解稱為調和函式。
如果等號右邊是一個給定的函式f（x，y，z），即：
則該方程稱為泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型偏微分方程。偏微分運算元
（可以在任意維空間中定義這樣的運算元）稱為拉普拉斯運算元，英文是Laplace operator或簡稱作Laplacian。
方程的解
稱為調和函式，此函式在方程成立的區域內是解析的。任意兩個函式，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函式之和（或任意形式的線性組合）同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。可以根據該原理將複雜問題的已知簡單特解組合起來，構造適用面更廣的通解。
二維方程
兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式：
解析函式的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。
