基本介紹
- 中文名：非空集合
- 外文名：nonempty set
- 所屬領域：集合論
- 定義：至少含有一個元素的集合
- 舉例：除了空集外的其餘集合
定義,相關概念,集合,集合的元素,元素和集合的關係,集合的表示法,有限集,無限集,空集,單元素集,子集,真子集,相等集,交集,並集,
定義
如果一個集合不是空集，那么這個集合叫做非空集合，例如
都是非空集合。
相關概念
集合
集合是數學的基本概念之一。它是現代數學的基礎。把具有某種屬性的一些對象，看做一個整體，便形成一個集合，集合簡稱集。
例如：(1)育英國小一年級的全體學生可以形成一個集合；(2)全體自然數也形成一個集合；(3)中國古代的四大發明形成一個集合。
集合一般用大寫字母A，B，C……表示。
集合的元素
組成集合的各個對象，叫做集合的元素。
例如：(1)育英國小一年級學生的集合是由它的每一個學生作為它的元素的；(2)1，2，3，……是自然數集的元素；(3)指南針，火藥，印刷術，造紙都是中國古代的四大發明集合的元素。
一般地，用小寫字母a，b，c，……表示集合的元素。
元素和集合的關係
如果a是集合A的元素，就說元素a屬於集合A，記作a∈A。符號“∈”表示屬於，讀作“a屬於A”，或讀作“A含有a”；如果a不是集合A的元素，就說a不屬於A，記作a
A．符號“ ”表示不屬於，讀作"a不屬於A"，或讀作“A不含有a”。
集合的表示法
集合通常有下列三種表示方法：
(1) 列舉法 把集合中的元素一一列舉出來．寫在{ }裡面。
例1 6的正約數的集合A．可表示為：A={1，2，3，6}
(2) 描述法 把集合中的元素的共同特徵描述出來，寫在{ }裡面。
例2 全體奇數的集合C，可表示為：C={x|x=2n+1，n是整數}。
(3) 文氏圖法 把集合中的所有元素用一條封閉曲線圈起來表示集合的方法，叫做文氏圖法。
例3 用a，b，c，d四個元素組成的集合，可以用文氏圖表示。如下圖左。
圖 1例4 組成中國國旗圖案的顏色的集合，可以用文氏圖表示，如上圖右。
有限集
由有限個元素組成的集合，叫做有限集。
例如，小於1000的自然數的集合A，即A={1，2，3，…，999}={x|x<1000，x是自然數}，它是一個有限集。
無限集
由無限個元素組成的集合，叫做無限集。
例如，自然數的集合，整數集，奇數集，偶數集等都是無限集。
空集
一個元素也沒有的集合，叫做空集。空集常用
表示。
例如，{小於零的自然數}=。
單元素集
由一個元素組成的集合，叫做單元素集。
例如，由a組成的集合：{a}是一個單元素集合，又如，由0組成的集合：{0}是一個單元素集合。
子集
例如，A={1，2，5}，B={1，2，3，5，7}，由於集合A的每一個元素都是集合B的元素。所以A是B的子集，即
。
又如，A={三角形}，B={等腰三角形}．那么
。
注意：對於一個集合A．因為它的每一個元素都屬於它本身，所以有
，也就是說，任何一個集合都是它本身的子集。另外空集是任何一個集合的子集。
真子集
例如：A={1，2，5}，B={1，2，3，5，7}，集合A是集合B的子集。而集合B中至少有一個元素(元素3)不屬於集合A，所以集合A是集合B的真子集，即
或
。
相等集
對於兩個集合A與B，如果，同理
，我們就說這兩個集合相等，記作A=B，讀作“A等於B”。
例如；A={0，1，2}，B={2，0，1}，由於集合A中的每一個元素都是集合B的元素，說明集合A是集合B的子集，即。同理，，所以A=B。
交集
圖 2例如，A={1，2，3，5，7}，B={2，5，6，10}，那么
又如，A={1，3}，B={4，5，6}那么
，文氏圖表示如圖3：。
圖3並集
由集合A和集合B的所有元素組成的集合，叫做集合A和集合B的並集，記作
，讀作A並B。用文氏圖表示如下：(陰影部分)
圖4例如，A={1，2,3,5,7}，B={2，5，6，10}，
，文氏圖表示如下：
圖5