商集

商集是集合論的基本概念之一,指由集合和該集合上的等價關係導出的集合。設~是非空集合A的一個等價關係,若把以A關於~的全部等價類作為元素組成一個新的集合B,則把集合B叫做A關於~的商集合,簡稱為商集,記作B=A/~.

基本介紹

  • 中文名:商集
  • 外文名: quotient set
  • 全稱:商集合
  • 本質:一個集合
  • 套用領域集合論
  • 學科:數學
特點,舉例,賦范線性空間的商空間,附錄,

特點

非空集合S關於它上面的任何等價關係R的商集具有下列特點:
  1. S/R ≠ ∅;
  2. 若A∈S/R,則A ≠ ∅;
  3. 若A,B∈S/R,A≠B,則A∩B = ∅.
利用選擇公理,在S/R的每個元素Am中取出一個元素am∈Am,稱為等價類Am的代表,而{am}m∈M稱為商集的代表集。集S對它上面的不同的等價關係R和G有不同的商集,且滿足:
1.S/R=S/R;
2.S/E={{a}}a∈S,這裡E是恆等關係;
3.S/(S×S)={S}, 這裡S×S是全域關係;
4.若S/R={Am}m∈M,S/G={Bn}n∈N,則
其中某些項可能是空集。

舉例

例1 A={a,b,c,d,e,f}={某大學宿舍的大學生};R是A上的同鄉關係(不難證明同鄉關係是等價關係),若a,b是北京人,c是廣東人,d,e,f南京人,則R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素關於R的等價類分別是:
[a]R=[b]R={a,b};
[c]R={c};
[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f};
A關於R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.
例2 A={(x,y) |-∞<x<+∞,-∞<y<+∞,xy≠0}是除去坐標軸的平面。可以驗證,~={ [(x1,y1),(x2,y2)] | x1x2>0,y1y2>0,(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈A}是A的等價關係,A關於~的等價類為A1= [(1,1)],A2= [ (-1,1)],A3= [ (-1,-1)],A4=[(1,-1)],顯然A1,A2,A3,A4就是直角坐標平面上的四個象限(如下圖)。這時A關於~的商集為:A/~= {A1,A2,A3,A4}.
直角坐標平面直角坐標平面
例3 利用由整數系擴充至有理數系的過程理解商集。假定已定義整數集Z,直觀上取a∈Z,b∈Z,則有a/b可定義為有理數。但新定義的數需符合整數的運算性質才可稱為數系的一次擴充。首要問題在於形式上不同的兩個a/b相對於運算可能是相同的,例如2/4=1/2,。一個樸素的處理方式是宣稱分數可以約分,並稱分子分母互質的為最簡分數,滿足最簡分數形式的才是有理數。這一過程的數學處理正是商集的一個例子。
首先考慮集合
,其中的元素為二元組(a,b)。定義等價關係~=
,易驗證這確實是一個等價關係。此處則有有理數集
/~,也即對整數二元組,如果將其中“可約分”的元素視為等價而只去一個代表,則構造出的集合與有理數集Q相同。有理數集Q即為整數二元組集合關於以上等價關係~的商集。

賦范線性空間的商空間

設X是線性空間,Y是X的一個線性子空間。對x∈X,記
是以x為代表元的等價類,於是得到商集
中規定
易知這樣的線性運算是一意確定的,於是,
按這個線性運算稱為線性空間。在商空間
中,X的子空間Y被“縮”為零向量
.
例如,在L空間中,記Y為幾乎處處等於零的函式全體,則對f∈L,
就是與F幾乎處處相等的函式組成的等價類。
如果X為賦范線性空間,Y是X的線性閉子空間,對
規定
容易證明這樣定義的
上的範數,即
仍是賦范線性空間,而且,當X是Banach空間時,商空間
也是Banach空間。

附錄

[二元關係]設A,B是集合,R是笛卡兒乘積AxB的子集,則稱R是A到B的一個二元關係,例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,a),(y,b)}.
[自反的二元關係]如果對於集合A的每一個元素a,都有(a,a)屬於二元關係R,則稱R為自反的二元關係。
[對稱的二元關係]如果每當(a,b)屬於R,就一定有(b,a)屬於R,則稱R是對稱的二元關係。
[傳遞的二元關係]如果每當有(a,b)、(b,c)均屬於R,必有(a,c)屬於R,則稱傳遞的二元關係。
[等價關係]R是A上的[二元關係],如果R是自反的、對稱的、傳遞的二元關係,則稱R為A上的等價關係。
[等價類]設R是A的等價關係,a是A中的任意元素,由A中的所有與a相關的元素組成的集合,稱為a關於R的等價類。

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