無限集合(無限集)

無限集合

無限集一般指本詞條

無限集合(infinite set)亦稱無窮集合,是一類特殊的集合,它有下面幾種定義:1.不是有限集的集合;2.可與其真子集對等的非空集合;3.既不是空集,又不與Mn={1,2,…,n},n∈N對等的集合。最小的無限集為可數集,即與自然數集N對等的無限集,可以證明:1.無限集必含有可數子集;2.無限集減去一有限子集仍為無限集;3.任一無限集與一可數集之並與該無限集間存在雙射

基本介紹

  • 中文名:無限集合
  • 外文名:infinite set
  • 別稱:無窮集合
  • 屬性:一類特殊的集合
  • 所屬學科:數學(集合論)
基本介紹,無限集合研究的基本方法,可數無限集合,不可數無限集合,無窮集合基數的比較,

基本介紹

直觀地講,有限集(也叫有限集合)是包含有限個元素的集合。為了更好地理解有限集合,我們給出有限集的正式定義。
定義1 一個集合S與集合
(定義
)之間如果存在一一對應函式
,則稱S是有限的。否則,則稱S是無限的
例1 下列集合均為有限集:
(1)集合
,該集合可以與集合
建立起一一對應的函式關係。
(2)
,該集合可以與集合
之間建立起一一對應的函式關係。
(3)
={1月,2月,3月,…,12月},該集合可以與集合
之間建立起一一對應的函式關係。
(4)
={星期一,星期二,…,星期日),該集合可以與集合
之間建立起一一對應的函式關係。
定義2 有限集S的元素的個數稱為S的基數,記為
上述,
的基數為26,
的基數為12,
的基數為7。
我們知道,集合之間可以進行各種運算,那么運算後集合的基數該如何給出呢?
定理1設A和B是兩個有限集合,則有
我們可以通過如圖1所示的維恩圖來理解該定理。由圖我們可以看出,
(圖1中
部分)的個數計算了兩次,所以要減去一個
圖1圖1
基於定理1我們可以得到
(1)當A和B分離時:
(2)

無限集合研究的基本方法

當我們面對“無窮”問題時,首先要提醒讀者建立以下幾個基本觀點:
1)有限到無限是從量變到質變;
2)有限集的性質不能推廣到無限,反之亦然;
3)要依靠理性的論證,而不是直觀和常識來認識無限。
判斷兩個有限集合中元素的“多少”,其實仍然是採用“數數”的方法。“數數”的過程其實就是建立“一一對應”的映射的過程。例如:給定集合
,計算S中元素數目其實就是建立如圖2所示對應關係的過程。
圖2計算有限集合技術的過程圖2計算有限集合技術的過程
這種方法可以進一步推廣到無限集合。為此我們首先給出“勢”的概念。
定義3 集合的勢是一個用來度量集合所含元素多少的量。對於兩個集合A和B,如果存在從A到B的雙射,就稱A和B是等勢(equipotent)的,記為A~B。集合的勢越大,所含的元素越多。
當A=B時,一定有A~B。我們很快就會看到,反之不一定成立。

可數無限集合

定義4 凡是與自然數集等勢的集合稱為可數集可列集)。
也可以將有限集合與可列集合稱為可數集,故可列集也可稱為可數無限(無窮)集合。A為可數無窮集合,若且唯若A可排列為
,即可以對它的元素進行編號,也就是建立起該集合與自然數集的一一對應的關係。
定理2 任意無窮集合,必含有可數子集。
證明: 設A為一無窮集合,從A中取出一個元素,命名為
,由於A是無窮集合,從
中可以取出元素
,而
也是非空集合,所以又可取元素
由於A是無窮集合,所以可以一直取下去,從而得到A的可數子集。
定理3 整數集合Z是可數無窮集。
定理4 正偶數集合
與自然數集合N等勢。
定理5 平面上坐標為整數的點的集合
與自然數集等勢。
定義如圖3所示的排列規則,可以將
中的點逐一列出,從而表明
與自然數集等勢。
圖3 集合ZXZ中元素排列方法圖3 集合ZXZ中元素排列方法
定理6 有理數集Q與N等勢。
以下是判斷一個集合是可數集合的一些結論。
●按照可數集合的定義,若A為有限集,則A一定是可數集合,否則若A與自然數集之間存在一個一一對應的映射,則A為可數集合。
●若A與某可數集合之間存在一一對應的映射,則A為可數集合。
●若A中所有元素可按某種規律進行排序,則A是可數集合。
●若A是n(>1)個可數集合的並集,則A是可數集合。
●若A是某個已知是可數集合的子集,則A是可數集合。
●若A是可數無窮多個可數集合的並集,則A是可數集合。
●若A是n(>1)個可數集合的笛卡兒乘積,則A是可數集合。

不可數無限集合

現在我們已經知道自然數集、偶數集、整數集、有理數集均是無窮可數集,那么實數集合是不是可數集呢?康托在研究集合時得到的一個重要結論就是:實數集不可數。這是康托的偉大發現。
定理7 實數區間(0,1)是不可數的。

無窮集合基數的比較

我們將自然數集的基數命名為
,即
是最小的無窮基數。實數集的基數命名為
,即
>
。顯然可數集A的基數:cardA≤
。接下來:無窮集合的基數有多少個?
為了回答上述問題,我們需要先了解以下康托基本定理。該定理是康托在1883年證明的。
定理8 (康托基本定理)集合A的元素不能與2A建立一一對應的映射。
有了這個結論,我們就可以構造基數為任意大的集合,如
。所有集合的基數從小到大可排列為:
現在的問題是:是否存在集合S,使得
。即能否找到一實數集的子集,它是不可數集合,但又不能與實數集合建立一一對應的映射關係。這就是康托提出的“連續統假設”。
1900年,第二屆國際數學大會在巴黎召開,20世紀國際數學界的頭號巨人、德國數學家希爾伯特提出了23個基本問題,幾乎指導了一個世紀,而現在只解決了一半。第一個問題就是如何證明集合論中的連續統假設。
連續統假設是數學中最基本的問題,近百年來一直是數理邏輯的中心問題之一,也是集合論最難的問題之一。經過許多著名數學家的不懈努力,已取得了重大進展:1930年,數學家
證明連續統假設與選擇公理是相容的,從而證明了連續統假設不成立是不可能的。1963年,美國數學家Cohen證明了選擇公理與連續統假設是相互獨立的,從而得出證明連續統假設成立是不可能的。由此得到,在我們所使用的公理系統中,連續統假設是不能判定的。

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