空關係

空關係是一種特殊關係，指關係集A×B中的子集∅。非空集合中的空關係是反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的；空集合中的空關係則是自反的、反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的。非空集合的空關係的矩陣各元素都是0。

基本介紹

• 中文名：空關係
• 外文名： empty relation
• 所屬學科：離散數學
• 符號表示：∅
• 相關概念：二元關係、全關係、反自反性等

定義

定義1 設A，B是兩個集合，R是A×B的任意一個子集，即

則稱R為從集合A到集合B的一個二元關係，簡稱為從A到B的一個二元關係。

若稱R為空關係。

若稱為全關係。

當時，稱二元關係為A上的二元關係。

當時，記稱之為A上的恆等關係。

空關係是一種特殊關係，指關係集A×B中的子集∅。非空集合中的空關係是反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的，但不是自反的；空集合中的空關係則是自反的、反自反的、對稱的、反對稱的和傳遞的。非空集合的空關係的矩陣各元素都是0。

定義2 集合A上的關係是從A到A的關係。

集合A到它自身的關係是特別令人感興趣的。

通常集合A上不同關係的數目依賴於A的基數。如果|A|=n,那么|A×A|=n²，可知A 上關係的子集有個，因為一個子集代表一個A 上的關係，所以A 上的關係有個不同的二元關係。

例如，則在A上可以定義個不同的關係。當然，大部分的關係沒有什麼實際意義，但是,對於任意集合A都有3種特殊的關係，它們是:

定義3 稱為A上的空關係，稱為A上的全關係，稱為A上的相等關係(或恆等關係)。

例題解析

例1 設R是P(A)上的包含關係，則

有。

。

例2 給定一個非空集合A，試討論集合A上的全域關係A×A以及空關係的性質。

解：(1)全域關係顯然有自反性、對稱性和傳遞性，但顯然沒有反自反性。

至於反對稱性，要看集合A的元素個數而定。

情形一：如果那么顯然它上面的全域關係有反對稱性。

情形二：如果，那么顯然它上面的全域關係沒有反對稱性。

(2) 因為A是非空集合，所以容易驗證A上的空關係有對稱性、傳遞性、反自反性、反對稱性，但沒有自反性。

二元關係的性質

設R是集合A上的一個二元關係，即，於是

(1)若對於，滿足則稱關係R有自反性，或稱R是A上的自反關係。

(2)若對於，滿足則稱關係R有反自反性，或稱R是A上的反自反關係。

(3)若對於，滿足當有則稱關係R有對稱性。或稱R是A上的對稱關係。

(4)若對於，滿足當且有，則稱關係R有反對稱性，或稱R是A上的反對稱關係。

(5)若對於，滿足當且時，有則稱關係R有傳遞性，或稱R是A上的傳遞關係。

註：1. 有自反性的關係一定沒有反自反性，有反自反性的關係也一定沒有自反性，這說明自反性與反自反性不可能共存於同一個關係之中。但是有這樣的關係存在，它既不是自反的，也不是反自反的。

2. 對稱性和反對稱性有可能共存於同一個關係之中。同時也存在這樣的關係，它既不是對稱的，也不是反對稱的。