線性代換

線性代數的重要概念之一.設σ是數域P上的線性空間V的一個變換.若對於V中的任意向量α，β與P中的任意數k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，則稱σ是V的一個線性代換.設σ是線性空間V的一個變換，若對於V中任意向量α，有σ(α)=α，則σ是V的線性變換，稱為恆等變換，亦稱單位變換，記為I.若V的變換σ對於V中的任意向量α，有σ(α)=0，則σ是V的線性代換，稱為零變換，記為0.線性變換是歐氏幾何中的變換、解析幾何中的某些坐標變換、數學分析中的某些變數代換以及其他數學分支中某些類似的變換的抽象、概括與推廣.數域上線性空間的線性代換可以推廣為同一個域上的兩個不同線性空間的線性映射.線性代換不僅是線性代數的主要研究對象之一，也是數學中的一個重要的概念.近代數學中的許多分支的研究對象，如泛函分析中的線性運算元.同調代數中的模同態等都與線性代換有密切的聯繫。

基本介紹

• 中文名：線性代換
• 外文名：linear substitution
• 學科：數學
• 套用：數學計算
• 別名：線性變換

定義

（1）線性代換是線性空間V到自身的映射通常稱為V上的一個變換。

同時具有以下定義：

線性空間V上的一個變換A稱為線性代換，對於V中任意的元素α，β和數域P中任意k，都有

（2）線性代換是線性代數研究的一個對象，即向量空間到自身的保運算的映射。例如，對任意線性空間V，位似是V上的線性代換，平移則不是V上的線性代換。對線性代換的討論可藉助矩陣實現。 關於不同基的矩陣是相似的。 （式中θ指零向量）稱為σ的核， 稱為σ的象，是刻畫σ的兩個重要概念。

對於歐幾里得空間，若σ關於標準正交基的矩陣是正交（對稱）矩陣，則稱σ為正交（對稱）變換。正交變換具有保內積、保長、保角等性質，對稱變換具有性質： 。

（3）在數學中，線性映射（也叫做線性代換或線性運算元）是在兩個向量空間之間的函式，它保持向量加法和標量乘法的運算。術語“線性代換”特別常用，尤其是對從向量空間到自身的線性映射(自同態)。

（4）在抽象代數中，線性映射是向量空間的同態，或在給定的域上的向量空間所構成的範疇中的態射。

性質

（1）設A是V的線性代換，則 ， ；

（2）線性代換保持線性組合與線性關係式不變；

（3）線性代換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。

注意：線性代換可能把線性無關的向量組變成線性相關的向量組。

運算

線性代換的加法和數量乘法：

定義一： 設 ，對A 與B和A+B定義為： 。

定義二：設 ，對k與A的數量乘積kA定義為： 。

定義三：設 ，對A 與B的乘積AB定義為： 。

定義四：設 ，若存在 ，使得 ，則稱A是可逆的，且B是A的逆變換，記為： 。

理解

關於線性代換和特徵值的理解：

首先我們來看這樣一個事實。一個二維的直角坐標系XOY，然後逆時針方向旋轉了ө角變為X’OY’後，考察會發現XOY和 X’OY’的坐標系之間存在這樣的轉化關係。就是說在XOY坐標系下的某一個點在X’OY’坐標系下的坐標變了 。那么我們同樣來考察一下這兩個坐標系下的基坐標。就是來考察在XOY坐標系下的基坐標 (1，0)和(0，1)在新的坐標系X’OY’下的 基坐標下的投影大小用(1，0)和(0，1)來表示為這樣的。注意，這裡的矩陣的排列是前面兩個基坐標係數方程的轉置矩陣，之所以寫為轉置矩陣是因為我們習慣這樣來寫基坐標的線性代換A =( ， ) 。我們可以看到這樣的旋轉變換的目的就是把坐標系旋轉後來看一下。這樣的旋轉角度一旦確定以後，我們就能夠得到原來的老坐標下的坐標點在新坐標系下的坐標為 。注意的是，這裡的坐標是右乘變換矩陣。

線性代換數學定義在一般的高等代數學書中都可以找到。 ， 。其中a，b是V中的線性空間。這個定義就是說把空間中的元素（特殊地想為三維空間的向量）經過一個變換，而這種變換是具有線性的特性的。

那么這種變換的從一個元素轉變到另外一個元素的對應關係，我們可以用前面的一個矩陣來表示，稱為線性代換矩陣。

在三維空間中，我們有一個球心在原點（XOYZ和 X’OY’Z’的坐標系具有不為零的三個歐拉角）的球面，球面上的每一個點當然都有一個空間矢量，我們讓這個球開始沿著X’OY’Z’的三個主軸方向變化，假設X’，Z’方向膨脹，Y’方向收縮，那么我們可以想見，只有這三個方向的位置矢量是沿著原來的方向變化著的，其它的位置矢量在新的位置都會和原來的位置矢量有一個夾角。容易直觀的理解，這樣的變換是線性代換。