正交變換

正交變換

線性代數中,正交變換線性變換的一種,它從實內積空間V映射到V自身,且保證變換前後內積不變。

因為向量的模長與夾角都是用內積定義的,所以正交變換前後一對向量各自的模長和它們的夾角都不變。特別地,標準正交基經正交變換後仍為標準正交基。

在有限維空間中,正交變換在標準正交基下的矩陣表示為正交矩陣,其所有行和所有列也都各自構成V的一組標準正交基。因為正交矩陣的行列式只可能為+1或−1,故正交變換的行列式為+1或−1。行列式為+1和−1的正交變換分別稱為第一類的(對應旋轉變換)和第二類的(對應瑕旋轉變換)[2]。可見,歐幾里得空間中的正交變換隻包含旋轉反射及它們的組合(即瑕旋轉)。

正交變換的逆變換也是正交變換,後者的矩陣表示是前者矩陣表示的逆。

基本介紹

  • 中文名:正交變換
  • 外文名:orthogonal mapping
  • 學科:數學
  • 屬於:線性變換
  • 包含:旋轉和軸對稱
  • 性質:逆變換也是正交變換
定義,等價刻畫,正交矩陣,分類,性質,套用,

定義

線性代數中,正交變換線性變換的一種。對一個由空間
投射到同一空間
的線性轉換,如果轉換後的向量長度與轉換前的長度相同,則為正交變換。
其中
在空間
內,n表示維度。
對於正交變換T以及兩個向量
之內積等於正交轉換後之向量
之內積。
其中N為向量長度,u[n]和v[n]分別為和之元素,正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。
在矩陣表示形式上,如果
為正交變換,則為
正交矩陣,對於正交變換之正交矩陣
,其每個列互為正交,令
之矩陣,取兩個不相同的列
遵守下列關係。

等價刻畫

設σ是n維歐氏空間V的一個線性變換,於是下面4個命題等價
1.σ是正交變換;
2.σ保持向量長度不變,即對於任意α∈V,丨σ(α)丨=丨α丨;
3.如果ε_1,ε_2,...,ε_n是標準正交基,那么σ(ε_1),σ(ε_2),...,σ(ε_n)也是標準正交基;
4.σ在任意一組標準正交基下的矩陣是正交矩陣

正交矩陣

定義:n級實矩陣A稱為正交矩陣,如果A*A=E。(A*表示A的共軛轉置,E是單位矩陣)

分類

設A是n維歐氏空間V的一個正交變換σ在一組標準正交基下的矩陣
若丨A丨=1,則稱σ為第一類正交變換,
若丨A丨=-1,則稱σ為第二類正交變換。

性質

(1)正交變換
不會改變向量間的正交性,如果
正交,則
亦為正交。
(2)如果
皆為正交矩陣,則
亦為正交矩陣。
(3)如果
為正交矩陣,
的反矩陣
亦為正交矩陣。
(4)正交變換容易做反運算。
(5)對於正交變換
,如果
可以做內積,
做內積之值等於
做內積之值。

套用

正交變換的種類非常的廣,像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。

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