以演繹方法為中心內容的形式邏輯已有 2000多年的歷史。最早從形式結構來論述演繹推理的著作是古希臘亞里士多德的《工具論》。自亞里士多德起至17世紀後期是形式邏輯的古典階段。古典形式邏輯包括幾種常見的演繹推理和最簡單的量詞理論，也使用一些特有符號。它沒有探討關係邏輯和公理系統的邏輯性質。自17世紀後期G.W.萊布尼茨起是數理邏輯的萌芽和發展時期，是形式邏輯的現代階段。數理邏輯使用大量的特製表意符號，在不同部分套用不同程度的數學方法。
基本介紹
- 中文名：數理邏輯史
- 方法：演繹方法
- 早期代表：工具論
- 輔助方法：數學
簡介,何為數理邏輯,開始階段,第一階段,第二階段,奠基階段,集合論的創始,發展過程,何為集合論,公理方法的發展,邏輯演算的確立,關於數學基礎的爭論,直覺主義,發展過程,釋義,希爾伯特方案,有窮方法和元數學,發展過程,何為元數學,所謂“形式主義”問題,哥德爾定理和過渡時期,哥德爾的完全性定理,兩個不完全性定理,推動遞歸論的研究,目前的發展階段,
簡介
現代演繹方法、形式化和公理系統的發展史。
它包含著古典形式邏輯而突破其局限性。數理邏輯始則聯繫數學的實際，繼而又適應其他學科的需要，在近百年內取得了嶄新而飛躍的發展。
古典形式邏輯是演繹法研究的前數理邏輯時期。數理邏輯史本身又可分為三個階段。第一階段開始用數學方法研究和處理形式邏輯。本階段從萊布尼茨到19世紀末延續了約 200年。第二階段是數理邏輯的奠基時期。19世紀數學發展提出了探討數學方法和數學基礎的問題，數理邏輯圍繞著這些課題，創建了新方法並提出了新理論。從19世紀70年代到20世紀30年代約70年時間奠定了本身的基礎。第三階段從20世紀30年代起為數理邏輯的發展時期。本階段數理邏輯的主要內容已成長為數學的分支，並與數學的其他分支、計算機科學、語言學和心理學有廣泛的聯繫。有少數部分內容如某些公理系統的研究與哲學問題有著相互的作用。
何為數理邏輯
數理邏輯又稱符號邏輯、理論邏輯。它既是數學的一個分支，也是邏輯學的一個分支。是用數學方法研究邏輯或形式邏輯的學科。其研究對象是對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以後的形式系統。數理邏輯是數學基礎的一個不可缺少的組成部分。雖然名稱中有邏輯兩字，但並不屬於單純邏輯學範疇。
開始階段
第一階段
數理邏輯開始於17世紀後期。當時古典形式邏輯不足之處已為某些邏輯學者所理解。數學方法對認識自然和發展科學技術已顯示出重要作用。人們感到演繹推理和數學計算有相似之處，希望能把數學方法推廣到思維的領域。德國唯理論哲學家萊布尼茨首先明確地提出了數理邏輯的指導思想。他構想能建立一“普遍的符號語言”，這種語言包含著“思想的字母”，每一基本概念應由一表意符號來表示。一種完善的符號語言又應該是一個“思維的演算”，他構想，論辯或爭論可以用演算來解決。萊布尼茨提出的這種符號語言和思維演算正是現代數理邏輯的主要特證。他為實現其構想做了不少具體的工作。他曾構成一個關於兩概念相結合的演算，給與這種結合A嘰B以內涵和外延的解釋，得到了一些重要定理。他成功地將古典邏輯的四個簡單命題表達為符號公式。他又提出了用素數代表初始概念並將複合概念表示為素數的乘積的配數法，但未能較好地套用。
第二階段
萊布尼茨以後在18世紀前後，歐洲大陸有許多人繼續了他的工作，沒有得到重要結果。19世紀中葉兩個英國學者G.布爾和A.德摩根突破了沉悶的局面。布爾是代數學家。19世紀初期數的概念逐漸擴大，負數、分數、實數等和正整數一樣都遵守一些相同的規律,他構想,給代數系統以邏輯的解釋或可構成一個思維的演算。鑒於四元數的發現，他也認為，思維的運算和一般代數的規律可以有差異，不能機械地推廣。他給與代數以四種解釋，其中一種為類的演算，兩種是命題演算，還有一種是機率理論。類演算所特有的規律為x2=x。命題演算中的命題變元只取0或1為值，此系統可被看作為二值代數，他就用此二值代數作為推導的工具。布爾原來的系統有不少缺點，如有些代數公式沒有解釋以及把加法解釋為不相容的邏輯合等等。布爾代數後來得到了改造和發展。19世紀後期德國的E.施洛德(1841～1902)把它改進為一演繹系統。20世紀以來，布爾代數已發展成為一個結構極為豐富的代數理論。布爾的貢獻是在邏輯史上首先提出了一個儘管還有缺點的邏輯演算。
關係推理雖然早就為從亞里士多德起的古典邏輯學家所發現，關係邏輯卻沒有得到重視和研究。德摩根是歷史上第一個探討這種推理理論的學者。他的興趣原在於推廣古典邏輯。他認為，古典三段論的系詞“是”字實際上是一個傳遞關係，每一傳遞關係都可以使類似古典三段論的推理有效。因之，他進而研究關係的種類和性質,使用一些他本人創造的符號,發現了一些有效的關係推理形式。他是一位數學家,他認為在代數學中,關係是極為重要的。德摩根所得的具體結果不算多，他的歷史功績在於，突破了古典形式邏輯“一主項一謂項”的局限，提出了關係邏輯，為後人的探討開闢了道路。
奠基階段
19世紀初以來，人們在積累了大量實踐經驗並進行理論總結後，感到數學科學單純憑藉幾何或物理直觀以及一些有效套用是不足的，進而要求數學論證具有嚴謹性和系統性，對基本理論、證明方法和數學性質做深入的探討。70年代開始出現對邏輯有重要意義的發展，主要有：集合論理論、嚴格的公理方法和初步自足的邏輯演算。
集合論的創始
發展過程
19世紀20年代的極限理論通過收斂性明確了無窮序列和無窮小的性質，但對於無窮大和無窮集合還不能做數學的處理，還沒有明確的認識。70年代G.F.P.康托爾在研究函式論時需要區別不同的無窮集合。“和本身的真部分一一對應”，多年來是無窮集之謎。康托爾突破從有窮以衡量無窮的束縛，以此為無窮集的本質特徵，創建了集合論。1874年他證明了一切代數數和正整數有一一對應,是可數的;而正實數和正整數無一一對應，不可數。這就數學地證明了有比可數集更大的無窮集。在他1878年的論文裡出現了“等勢”概念和對於無窮集的特徵的解釋。他在1883和1891年的論文中全面發展了無窮基數和無窮序數的理論，利用良序集理論和冪集給出一個比一個大的基數和序數。連續統假設在1878年曾被作為估計提出，1883年他認為此假設是可證的。在後一論文裡他也講到良序定理的重要性。但對這二者他始終沒有給出證明。關於悖論，他曾和D.希爾伯特於1895年通信討論過布拉里-弗蒂悖論,1899年康托爾函告德國學者R.戴德金德(1831～1916)，認為包含著一切集合的集合是“一個不一致的系統”。康托爾創始的集合論由於肯定了實無窮即已完成的、存在著的無窮集，並使用了超窮方法，因而在當時遭到L.克羅內克(1823～1891)的攻擊和反對，同時也得到了K.魏爾施特拉斯(1815～1897)和希爾伯特的讚賞與支持。
何為集合論
數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。
作用 按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者是可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函式）。從這個意義上說，集合論可以說是整個現代數學的基礎。
歷史 集合論作為數學中最富創造性的偉大成果之一，是在19世紀末由德國的康托爾（1845－1918）創立起來的。但是，它萌發、孕育的歷史卻源遠流長，至少可以追溯到兩千多年前。
公理方法的發展
早在公元前約 300年，古希臘數學家歐幾里得在其《幾何原本》中，總結和整理了當時關於幾何方面的知識，建立了一個具體公理系統。歐幾里得第五公設（公理）或平行公設由於其真實性不夠自明，在當時引起了懷疑。起初人們曾設法從其他公設論證第五公設，或代之以更為自明的公理，然而經過長期努力也未獲得結果。18世紀義大利的G.薩凱里 (1667～1733) 試圖用反證法論證與第五公設相反對的假設不能成立，但結果卻適得其反，從而產生和發展了非歐幾里得幾何，並提出了非歐幾何作為公理系統的一致性問題。19世紀中葉後，人們已經判明射影幾何與度量幾何的相互關係,揭示出兩種幾何系統所必需的公理和假設。德國數學家P.帕施(1843～1930)在其《新幾何講義》(1882)一書中，給出了歷史上第一個嚴格的幾何系統，明確了射影幾何隱含著的全部公理。他還從理論上提出形式公理學的思想，認為幾何學裡推導的進行必須獨立於幾何概念的直觀內容,而不以圖形為根據。同時,各種幾何或代數公理系統的出現，表明一個嚴格公理系統可以有不同解釋或模型。在這樣的歷史條件下，希爾伯特和《幾何基礎》一書於1899年出版。為了便於理解，在書中利用直觀的語詞引進點、線、面三類事物和它們間的關係，如“在……之上”、“契約於”、“平行”等等，而沒有再做解釋。其實這些直觀的語詞只起了變元的作用，這些事物和關係的性質完全由幾組公理來決定，並可以有不同的解釋。公理不僅反映系統的邏輯結構，也限制著對那些事物的可能的解釋或模型。這是一種初步形式化的公理系統。希爾伯特還討論和論證了該系統的一致性和各公理的相互獨立性。
邏輯演算的確立
邏輯演算是一種公理系統，其中的定理都是邏輯規律特別是推理形式。19世紀70年代G.弗雷格首先建立了一個完全的邏輯演算體系，其後G.皮亞諾也為此做了不少貢獻，最後由B.A.W.羅素和A.N.懷特海完成了建立一個初步自足的完全的二值外延邏輯系統的工作。弗雷格對邏輯的興趣來自數學基礎問題的研究。他認為，人們應該考慮如何定義數的概念並證明關於自然數的定理。他認為，數學真理雖也要通過感性才為人所認識，但認識的來源並不就等於證明的根據，數學命題似乎可以純粹從邏輯規律得到證明。從日常語言不能表達嚴格和複雜的思想這一考慮出發，他發明了一種表意的語言，名之為“概念語言”，用以表達其邏輯演算。這種語言雖然精確，但由於是二維的圖形，不便理解，因之他的著作開始時影響很小。弗雷格的重要貢獻之一是把數學裡的函式概念引入邏輯並發展了量詞理論。他的另一重要貢獻是，區別了對象語言（演算里的語言）和語法語言（講述演算所用的語言）。一個嚴格的邏輯演算必須有它本身的推導或演算規則，這種規則不應在演算里表達，是現代邏輯所謂的變形規則。在其概念語言中，弗雷格曾舉出一些演算規則，如分離規則等。他從集合論的角度利用“遺傳性”定義了數的序列，為以後定義自然數序列及說明數學歸納法做了準備。由於他沒有深入研究集合論，因而未能全面地闡明邏輯和數學的關係。
皮亞諾認為，語言含混是數學基礎問題難以解決的根源。他創造一符號體系，並用來精確地分析了大量的數學命題。他的符號簡單適用，其中一部分仍被保留在當代邏輯文獻中。在邏輯方面他的重要貢獻有二，其一是區別兩類間的包含關係與類和分子的從屬關係，其二是區別某一個體和以此個體為唯一分子的類。皮亞諾沒有給出一邏輯演算體系，只列舉出一系列定理。在公理方法方面，他的 5條算術公理由於理論上優越而獲得了公認。1900年在巴黎國際哲學會上他給羅素留下深刻的印象，推動了羅素的觀點的發展。
羅素欣賞數學定理的必然性和數學論證的方法，想徹底理解數學知識的性質。他反對I.康德的數學來源於主觀純形式的觀點，也不同意經驗主義者關於數學依賴於經驗歸納的看法。他主張數學可以從邏輯規律推導出來，這是邏輯主義觀點。在他和懷特海合著的幾乎完全以符號表達的三大卷《數學原理》里，總結了前人的成就，做出許多新的創造性貢獻。他們改進和發展了C.S.皮爾士和施洛德的關係邏輯和關係理論。1901年羅素本人發現了由邏輯的最根本概念形成的悖論，引起了很大的震驚。1903年起他又逐漸完善了解決悖論的類型論。他雖然也建立了一個完全的謂詞演算，但不夠嚴格和形式化。他未能很好地區別演算里（對象語言）的定理和演算外（元語言裡）語法的變形規則，在這點上較之弗雷格猶有遜色。在數學基礎方面，羅素和懷特海最重要的貢獻是從幾個邏輯概念和公理出發再增加兩個新公理，即無窮公理和選擇公理（乘法公理），就推導出康托爾集合論、一般算術和大部分的數學。這兩個新公理都是和實無窮大有關的斷定，它們顯示出邏輯和數學的聯繫和差別。單純從邏輯推不出數學，必須再增加兩個公理，可見數學和邏輯不等同。可是這結果也表明數學和邏輯的深刻聯繫，其他自然科學如生物學等都不是增加一兩個這樣的公理就可以從邏輯推出來的。
邏輯主義有雙重涵義。它主張數學可以純粹從邏輯推導出來，這是基本的涵義。此外有時它還意味著某種哲學觀點，即認為數學可以從邏輯推導出來的不必都有明確或系統的哲學見解。弗雷格和羅素都是邏輯主義者，戴德金德也是邏輯主義者。弗雷格和羅素有哲學觀點，而戴德金德似乎沒有寫下他對邏輯的哲學觀點。能否從邏輯推出數學，這是極具體的科學推導問題，羅素和懷特海明確了數學和邏輯的相互關係，這是他們的卓越貢獻，同時也解決了戴德金德的問題。在哲學方面，弗雷格和羅素都認為，邏輯是某種先驗的理論體系，這是一種先驗論觀點。
關於數學基礎的爭論
20世紀初期，集合論、公理方法和邏輯演算這三方面都繼續發展，同時也引起了一系列爭論。1900年巴黎國際數學會上希爾伯特提出著名的23個問題，其中，第 1個就是求證康托爾集合論的連續統假設和良序定理；第 2個是實數公理系統的一致性問題，並且認為公理的一致性可以說明實數系具有數學的存在。1904～1906年，J.H.彭加勒在評論法國數學家L.古杜拉時主張沒有實無窮，數學歸納法是較邏輯更為根本的方法，因而數學不能歸結為邏輯。1904年E.策爾梅洛(1871～1953)根據選擇公理證明了良序定理，結果引起了對選擇公理的廣泛注意，同時也引起了幾位著名法國數學家E.鮑瑞爾 (1871～1956)、H.勒貝格(1875～1941) 和R.貝爾(1874～1932)關於無窮多個的，特別是不可數個任意選擇的可接受性的討論。1907年荷蘭數學家L.E.J.布勞維爾在博士論文《數學基礎》里表示不承認康托爾集合論，也不同意把數學歸結為邏輯。1908年，他在邏輯史上第一次提出排中律不可靠的論點。在論文《直覺主義和形式主義》(1912)里，他進一步闡述了直覺主義的思想。這些史實表明當時爭論的重點在於：①有沒有和如何認識實無窮，②什麼是數學的存在，③數學應建築在什麼基礎之上。圍繞著這些問題，20年代出現了兩個主要學派即直覺主義和所謂的形式主義。
直覺主義
發展過程
直覺主義、構造主義和構造性數學，這三個名詞的涵義不同。嚴格意義的直覺主義屬於哲學流派，是一種否認理性認識的唯心主義觀點。構造主義主張自然數及其某些規律和方法，特別是數學歸納法，是數學裡直觀上可靠的出發點，其他一切數學對象和理論都應該能用不假定實無窮的方法從自然數構造出來。這裡的直觀並不必帶有鮮明的或系統的哲學見解。克羅內克就是構造主義者而不是直覺主義者。彭加勒和勒貝格等都有不同程度的構造傾向，可是他們並不完全否認非構造性數學。至於構造性數學則是數學科學的一部分，和承認實無窮的古典數學相輔相成。
布勞維爾持有直覺主義哲學觀點。他認為，數學來源於先驗的初始直覺，這種直覺產生了有窮數和無終止的無窮序列，並從而構造出各種數學對象。數學是創造性的心靈活動，獨立於邏輯和語言。他也是一構造主義者，他不承認客觀存在著已完成的無窮體系，認為無窮只是永無休止的潛在過程。他提出，一切以實無窮為前提，非構造性的論證和理論都不能成立。必須具體給出或者有一構造方法，數學對象才算作存在，間接的存在證明是無效的。在他看來，可證者為真，可否證者為假，在可證與可否證之間還有中間可能，因之排中律不能成立。既然如此，古典數學的各分支就要重新經過審核。非構造方法對於康托爾集合論和數學分析有本質的意義，因之戴德金德分割、 上確界定理和波爾察諾-魏爾施特拉斯定理等都失去根據。古典數學的這些部分必須改造或被擯棄。然而，布勞維爾的數學觀點和他自己的工作並不一致，他在1918年以前的重要貢獻也不屬於構造的範圍。此後他雖從事於重新建立古典數學的工作，但很多重要定理得不到證明，概念的形成也變得甚為複雜而含混，不能令人滿意。
30年代，布勞維爾的影響有所擴大，希爾伯特的學生H.魏爾（1885～1955）也聲稱要參加布勞維爾的行列，這促使希爾伯特積極考慮保衛古典數學。他反對布勞維爾和魏爾走克羅內克的老路。他說，古典數學是我們最有價值的寶藏。悖論出現的原因不在實無窮，而是由於對無窮的錯誤認識。策爾梅洛的公理集合論已可以排除被發現的悖論，有待解決的只是如何論證古典數學的一致性，並保證不再出現邏輯矛盾。
何為直覺主義
釋義
希爾伯特方案
求模型是論證一致性的重要方法。集合論或數學分析不能再在其他理論得到模型。希爾伯特認為，感性經驗和物理世界裡沒有無窮大和無窮集合，自然界裡也找不到它們的模型。他稱實無窮為理想元素。引進理想元素是現代數學常用的方法，例如幾何的無窮遠點。理想元素可以簡化理論,使結構更為完整,但只有不從而帶來邏輯矛盾，增加理想元素才是可允許的。集合論和數學分析在一定意義上是“無窮的交響樂”，因之必須在求模型法外，設法論證它們的一致性。為此希爾伯特提出一個方案，這方案是：將包含實無窮的數學理論組成一個完全形式化的公理系統，用（不假定實無窮的）有窮方法來研究此公理系統內的證明，如能斷定此種證明不會導致邏輯矛盾，則此系統的一致性得證。
完全形式化的公理系統或形式系統 論證一致性必須考察一理論里一切可能寫出的推導或證明。這是“證明論”命名之由來。證明論要求將一數學分支和其中推導所用的邏輯演算綜合在一起組成一個完全形式化的公理系統。這樣，系統里的證明才可以有嚴格定義，並且一個公式序列是否為一證明也可以根據一定的機械方式以有窮步驟能行地判定。現代邏輯可以在思想和符號之間建立對應關係。在某一系統的基本符號給定以後，根據關於符號的規則，一符號序列是否為一公式，從一組公式是否可以變換為某一公式，一公式序列是否為一證明，這些都可以能行地判定。符號的規則屬於系統的語法部分。符號需有解釋，解釋的規則屬於語義部分。語法和語義是形式系統的兩個組成部分。初等數論、集合論和數學分析的形式系統都是證明論的對象。
有窮方法和元數學
發展過程
實無窮既是引起一致性問題的原因之一，古典邏輯演算也假定了實無窮，因而在論證古典數學無矛盾時，不能再用以實無窮為前提的思想方法，只能用有窮方法，否則即為循環論證。有窮方法的特徵是,每一步驟只考慮確定的有窮數量的對象,承認潛無窮，而不處理任何已完成的包括無窮對象的整體。邏輯里的全稱命題表達一條規律，此規律對於每一給定對象必須能得到判定。存在命題應能直接給出，或能給出其步驟有特定界限的、求得某對象的方法。排中律在某些涉及潛無窮的情況下不能適用。由於研究形式系統需要用數論，遞歸算術恰好就是不假定實無窮的初等數論。這樣建立起來的邏輯和數論稱為“元數學”。
何為元數學
一般來說，元數學是一種將數學作為人類意識和文化客體的科學思維或知識。更進一步來說，元數學是一種用來研究數學和數學哲學的數學。“數學的數學”是於19世紀初由通常的數學分離出來的，它最初研究的對象是在所謂的數學危機。將二者混為一談會導致一些矛盾，典型例子有理查茲悖論。
所謂“形式主義”問題
希爾伯特有關數學基礎的理論有時被稱為形式主義。希爾伯特並不自命為形式主義。許多專業文獻只講他的證明論而不用“形式主義”名稱。嚴格意義的形式主義是那種割裂形式和內容的思想方法。相反地，希爾伯特卻經常強調符號與其內容的聯繫。他認為，思想恰好是與說和寫並行的，公式是發展至今日的通常數學思想的複製品等等。事實上，遭到非議較多的是他的理想元素理論。對此，羅素和布勞維爾批評他說，邏輯上無矛盾不必就是存在。但希爾伯特曾表示,邏輯上一致只保證了“數學的存在”,理想元素的作用在於從它可以得出關於現實的命題。他還在《論無窮》(1925)一文里指出，除了一致性證明外，如果要進一步說明某一措施為合理，那就要看有無相應的成果伴隨而來。成果在這裡是最高的裁判所。問題在於希爾伯特既然認為，物理科學不能提供實無窮的根據，那么理想元素是不是客觀的存在，而他對此似乎沒有進一步的見解。
希爾伯特方案於20年代形成。當時他還未意識到論證古典數學一致性的本質困難，以為只要做足夠的努力就可以得到所希望的結果。1931年K.哥德爾發表著名論文《〈數學原理〉及有關係統中的形式不可判定命題》，嚴格地證明了：如果一個包括初等數論的形式系統是一致的，那么其一致性不能用有窮方法甚至不能用一階謂詞演算和初等數論的方法證明。此定理給希爾伯特方案以沉重打擊。希爾伯特等人隨即決定將有窮方法稍加擴充，增加超窮歸納作為元數學的工具。此後不久G.根岑(1909～1945)於1936年就用超窮歸納法證明純粹數論的一致性。這已經不是嚴格意義的有窮方法了。
哥德爾定理和過渡時期
希爾伯特方案反映了30年代前數學基礎的爭議，目的是用有窮方法研究包括邏輯和古典數學的形式系統的元邏輯性質，特別是一致性問題。在1928～1936年內主要通過哥德爾的工作，正面或反面地得到了幾個最重要基礎理論的解答。在方法論方面數學地精確地描述了直觀的機械過程，推動了遞歸函式論的研究，為數理邏輯發展的第三階段準備了條件。
哥德爾的完全性定理
1928年希爾伯特和W.阿克曼(1896～1962)合著的《理論邏輯基礎》第一版首先把一階邏輯分離出來並證明其一致性。同年希爾伯特在波勞亞數學會上提出邏輯演算的完全性問題。哥德爾於1929年秋完成並於1930年發表了博士論文的修改稿《邏輯謂詞演算公理的完全性》，其主要內容是證明：一階謂詞演算的有效公式皆可證。同時也證明了緊緻性定理和勒文海姆 -司寇倫定理（見司寇倫定理）。他在證明里使用了J.克尼希無窮引理和古典排中律。
兩個不完全性定理
1930年夏，哥德爾著手考慮數學分析的一致性。與希爾伯特不同，他想分為兩個步驟進行，先用有窮方法證明數論一致，然後再用數論來論證分析的一致性。在數論方面他很快得到決定性結果，於1931年發表《〈數學原理〉及有關係統中的形式不可判定命題》一文，此文包括兩個著名定理。按照第一不完全性定理，一個包括初等數論和一階邏輯的形式系統S，如果一致，那么就是不完全的。在證明里,他使用了有窮觀點的邏輯和原始遞歸算術,並通過配數法，在S中表示關於 S的語法命題。哥德爾還利用對角線法構造了一個斷定其自身在S中不可證的命題 A，並且說明，A和├A在S中皆不可證。由於A和├A二者必有一真，真而不可證，因之S不完全。在證明第二個不完全性定理時,哥德爾的基本論證是,由於“系統S一致”可在S中表示,記為Con(S)，同時 A即表示“A在S中不可證”，因之第一不完全性定理可在 S中表示為
├Con(S)→A從以上公式可見,如Con(S)可證, 那么就有├A；這顯然與第一不完全性定理相矛盾，不能成立。因此，第二不完全性定理斷定：如果一個包括古典數論的形式系統是一致的，則其一致性不能在此系統中得到證明，同時當然也不能用有窮方法證明。這一重要的發現給希爾伯特方案以很大的衝擊。
推動遞歸論的研究
數理邏輯中的有窮方法是一種能行的理論。能行方法可以說是機械的過程，也就是根據預先給定的規則用有窮步驟可以完成的。“預先給定的規則”和機械過程都是直觀概念，對於它們必須有精確的數學描述。根據J.艾爾布朗(1908～1931)1931年的建議，哥德爾於1934年提出一般遞歸作為能行性的定義（見能行性和一般遞歸）。1933～1936年A.丘奇 (1903～ )和S.C.克利尼 (1909～ )構造了λ可定義演算，證明了λ可定義性和一般遞歸的等價關係。1936年丘奇提出能行可計算函式即是遞歸函式或λ可定義函式的論題。1936年也出現了E.波斯特（1897～1954）的組合生成系統。1936～1937年英國學者 A.M.圖林(1912～1954)在分析了計算過程的簡單步驟及其組合以後,設計一種抽象機器以體現計算方法，得到了圖林可計算性概念。他又證明了圖林可計算性和λ可定義性為相互等價。他們的這些工作和後來套用的成效闡明了上述幾個等價函式即為能行可計算性或機械程式的數學描述。
哥德爾有獨立的哲學思想和學術觀點，並不屬於希爾伯特學派。他認為，他對於古典數學和超窮思想方法都持有“客觀主義”的態度，他還認為，他所以能得到某些重要結果和他的學術思想密切相關。他澄清了第二階段提出的問題，為數理邏輯奠定了基礎。他的工作促使邏輯的某些部分轉化為數學的分支，並推動數理邏輯進入第三階段。
目前的發展階段
30年代後期數理邏輯進入發展的第三階段。證明論儘管未能達到預期目的，元數學卻獲得豐富成果。由於使用愈益增加的數學工具，研究對象也大多為數學思維和數學基礎問題，數學邏輯已成為數學大家庭的成員。目前其中心內容大致可以再分為 5個部分：證明論、集合論、遞歸論、模型論和各種邏輯系統的研究。前 4個分支各有其中心課題，近年來都有長足和重大的進展。最後一個分支的方向是用古典演算的元邏輯方法來處理各種非經典邏輯系統，如模態邏輯、多值邏輯、時態邏輯、模糊邏輯等等。40年代以後從事非經典邏輯研究的學者和文獻逐漸增多，在各方面的作用也不同程度地顯示出來。除此 5個分支外，數理邏輯和理論計算機科學有深刻的聯繫，有關程式語言和計算性理論的研究正在蓬勃地發展。
