三角不等式

三角不等式，即在三角形中兩邊之和大於第三邊，有時亦指用不等號連線的含有三角函式的式子（這裡不作介紹）。三角不等式雖然簡單，但卻是平面幾何不等式里最為基礎的結論。

基本介紹

• 中文名：三角不等式
• 外文名：the Triangle Inequality
• 套用學科：理工
• 適用領域範圍：數學、物理
• 學科領域：數學，平面幾何
• 基本解釋：在三角形中兩邊之和大於第三邊

內容及其證明

內容

在任何三角形中，任意兩邊之和大於第三邊。

證明

方法一（線段公理）：

記△ABC，BC是一條線段，而AB+AC不是一條線段，所以AB+AC>BC，所以三角形兩邊之和必然大於第三邊（兩點之間線段最短）。（注意：這裡引用的線段公理並不是《幾何原本》中的公設）

方法二（《幾何原本》第Ⅰ 卷命題20）：
設ABC為一個三角形，記△ABC，延長BA至點D，使DA = CA，連線DC.

則因DA = AC ，∠ADC = ∠ACD （等邊對等角，《幾何原本》命題5）

所以∠BCD大於∠ADC（平行公設）

由於DCB是三角形，∠BCD大於∠BDC，而且較大角所對的邊較大（大角對大邊，命題19）

所以DB > BC，而DA = AC

則DB = AB + AD = AB + AC > BC.

推論

下面不加證明地給出若干個定理。

推論一 ：

對於兩條相交線段AB、CD，必有AC+BD小於AB+CD。

推論二（絕對值不等式）:

對於，有

此式也稱為三角不等式。

其等號成立若且唯若：

對於，第一個等號有且，第二個等號有。

對於，第一個等號有且，第二個等號有。

推論三（向量三角不等式）：

對於任意兩個向量、，其加強的不等式

也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式。

推論四（複數三角不等式）：

若推論三中將兩個向量換為任意兩個複數，則定理仍成立。

變換後的式子稱為（複數的）三角不等式。

套用

• 廣義托勒密定理、歐拉定理及歐拉不等式最後都會用這一不等式導出不等關係。