矩陣特徵值

矩陣特徵值

設 A 是n階方陣,如果存在數m和非零n維列向量 x,使得 Ax=mx 成立,則稱 m 是矩陣A的一個特徵值(characteristic value)或本徵值(eigenvalue)。

基本介紹

  • 中文名:矩陣特徵值
  • 外文名:matrix eigenvalues
  • 學科:數學
  • 領域:線性代數
  • 相關概念:特徵向量
  • 對象:n階方陣
定義,性質,特徵值與特徵向量的求法,方法,示例,

定義

設A是n階方陣,如果數λ和n維非零列向量x使關係式Ax=λx成立,那么這樣的數λ稱為矩陣A特徵值,非零向量x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。式Ax=λx也可寫成( A-λE)X=0。這是n個未知數n個方程的齊次線性方程組,它有非零解的充分必要條件是係數行列式| A-λE|=0。
設A是數域P上的一個n階矩陣,λ是一個未知量,
矩陣特徵值
係數行列式|A-λE|稱為A的特徵多項式,記¦(λ)=|λE-A|,是一個P上的關於λ的n次多項式,E是單位矩陣。
¦(λ)=|λE-A|=λ+a1λ+…+an= 0是一個n次代數方程,稱為A的特徵方程。特徵方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如:λ0)稱為A的特徵根(或特徵值)。n次代數方程在複數域內有且僅有n個根,而在實數域內不一定有根,因此特徵根的多少和有無,不僅與A有關,與數域P也有關。
以A的特徵值λ0代入(λE-A)X=θ,得方程組(λ0E-A)X=θ,是一個齊次方程組,稱為A的關於λ0的特徵方程組。因為|λ0E-A|=0,(λ0E-A)X=θ必存在非零解
稱為A的屬於λ0特徵向量。所有λ0的特徵向量全體構成了λ0的特徵向量空間。

性質

性質1:n階方陣A=(aij)的所有特徵根為λ1,λ2,…,λn(包括重根),則:
矩陣特徵值
性質2:若λ是可逆陣A的一個特徵根,x為對應的特徵向量,則1/λ 是A的逆的一個特徵根,x仍為對應的特徵向量
性質3:若 λ是方陣A的一個特徵根,x為對應的特徵向量,則λ 的m次方是A的m次方的一個特徵根,x仍為對應的特徵向量
性質4:設λ1,λ2,…,λm是方陣A的互不相同的特徵值。xj是屬於λi的特徵向量( i=1,2,…,m),則x1,x2,…,xm線性無關,即不相同特徵值的特徵向量線性無關

特徵值與特徵向量的求法

方法

對於矩陣A,由AX=λ0X,λ0EX=AX,得[λ0E-A]X=0即齊次線性方程組
矩陣特徵值
有非零解的充分必要條件是:
矩陣特徵值
即說明特徵根是特徵多項式|λ0E-A| =0的根,由代數基本定理
矩陣特徵值
有n個復根λ12,…,λn,為A的n個特徵根。當特徵根λi(I=1,2,…,n)求出後,(λiE-A)X=θ是齊次方程,λi均會使|λiE-A|=0,(λiE-A)X=θ必存在非零解,且有無窮個解向量,(λiE-A)X=θ的基礎解系以及基礎解系的線性組合都是A的特徵向量。

示例

求矩陣
的特徵值與特徵向量。
解:由特徵方程
矩陣特徵值
解得A有2重特徵值λ12=-2,有單特徵值λ3=4。
對於特徵值λ12=-2,解方程組(-2E-A)x=θ
矩陣特徵值
得同解方程組x1-x2+x3=0,解為x1=x2-x3(x2,x3為自由未知量)。分別令自由未知量
矩陣特徵值
得基礎解系
矩陣特徵值
所以A的對應於特徵值λ12=-2的全部特徵向量為x=k1ξ1+k2ξ2(k1,k2不全為零),可見,特徵值λ=-2的特徵向量空間是二維的。注意,特徵值在重根時,特徵向量空間的維數是特徵根的重數
對於特徵值λ3=4,方程組(4E-A)x=q
矩陣特徵值
得同解方程組為
矩陣特徵值
通解為
矩陣特徵值
令自由未知量x3=2得基礎解系ξ3
,所以A的對於特徵值λ3=4得全部特徵向量為x= k3ξ3。

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