冪法求矩陣特徵值

冪法主要用於計算矩陣的按模為最大的特徵值和相應的特徵向量。

基本介紹

• 中文名：冪法求矩陣特徵值
• 領域：線性代數

定義

冪法主要用於計算矩陣的按模為最大的特徵值和相應的特徵向量。

基本思想

若我們求某個n階方陣A的特徵值和特徵向量，先任取一個初始n維向量 ，構造如下序列：

(1)

當k增大時,序列的收斂情況與絕對值最大的特徵值有密切關係，分析這一序列的極限,即可求出按模最大的特徵值和特徵向量。

假定矩陣A有n個線性無關的特徵向量。n個特徵值按模由大到小排列：

│r₁│ │r₂│ ... │r_n│ (2)

其相應的特徵向量為：

(3)

它們構成n維空間的一組基。任取的初始向量 由它們的線性組合給出

(4)

由(1)中的序列可以遞歸得到

(5)

將(4)代入(5)有

(6)

將 代入(6)中有

(7)

下面按模最大特徵值r₁是單根的情況討論：

由此公式(7)可寫成

(8)

若a₁≠0，由於 / ,( ),故k充分大時，

其中ε_k為一可以忽略的小量，這說明 與特徵向量V₁相差一個常數因子，即使，由於計算過程的捨入誤差，必將引入在方向上的微小分量，這一分量隨著疊代過程的進展而逐漸成為主導，其收斂情況最終也將與相同。

特徵值按下屬方法求得：

(9)

其中 ， 分別為 ， 的第j個分量。

計算方法

實際計算時，為了避免計算過程中出現絕對值過大或過小的數參加運算，通常在每步疊代時，將向量“歸一化”即用的按模最大的分量 , 去除 的各個分量，得到歸一化的向量 ，並令

由此得到下列疊代公式 ：

當k充分大時，或當║ ║ <ε 時，

，j=1,2,...,n