基本介紹
- 中文名：測度空間
- 外文名：Measure space
- 學科：數學
- 定義：定義了測度的可測空間叫測度空間
- 符號表示：m
- 相關名詞：可測空間
簡介,測度,可測空間,
簡介
二元組（ X， F），其中F只要滿足三個條件就可以了， 這樣就可以對 F中的元素定義測度， 所以F中的元素叫可測集，但是這時許多人會犯一個致命的錯誤， 認為對 F加了限制， 排除了一些不可測集。其實我們可以取 F為 X的子集全體， 這時（ X， F）就是一個可測空間， 我們可以給 F中的元素定義測度。定義了測度（ 例如記做 m）的可測空間叫測度空間， 記做（ X， F， m）， 是個三元組。
測度
測度，是數學術語，釋義是構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。測度有計數測度、勒貝格測度、哈爾測度、機率測度等。構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。
具體定義：
定義1：構造一個集函式，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函式稱為E的測度。
定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函式，且ρ滿足：
（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;
（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為機率測度。
可測空間
可測空間是一個文縐縐的用語。羅素上個世紀提出了一個悖論，使得集合論的推理髮生了嚴重的危機， 也就是說基本的假設按照通常的推理會出現問題， 這個問題大家又解決不了， 但這個世界上聰明人很多， 既然解決不了那就不解決， 把這個問題繞過去， 於是可測集的概念就應運而生，因為對極端的情況處理不了， 所以就不考慮極端的情況， 把能處理的情況放在一起， 這樣推論就不會產生矛盾了。 X是任意集合， F是把 X中極端的情況去掉後由 X的子集所組成的集合， 這樣去掉了不能處理的集合， 剩下來的都是可以處理的， 所以（ X， F）就叫可測集了。
F取得太大， 可能導致無法定義合適的測度。 例如取 R的全體子集作為 F， 那么我們沒有辦法將區間長度這個合適的測度概念定義在 F的每個元素上， F太大了。 縮小 F為小一點的σ域 F'， 使得 F' 包括所有的區間， 而且其中的元素都有測度 L， 而且 L是區間長度概念的自然推廣， 就得到所謂勒貝格測度空間(R,F',L)， F' 中的元素叫勒貝格可測集， 而相應的測度 L叫勒貝格測度。
所以可測空間中的可測集和測度無關， 測度空間中的可測集和測度有關。
機率論研究的機率空間就是一個測度空間（ X， F， P）， 其中 P是定義在 F中的測度， 叫機率測度。 集合 X我們一般叫做樣本空間， F中的元素叫可測集， 但是我們更願意叫做事件， 而把 F叫做事件域。 任取 F中元素 A， 它是 X的子集， 這時是一個事件， 它的測度 P（ A） 就是事件 A的機率。 可見這三元組（ X， F， P） 中的東西缺一不可。
