勒貝格測度

勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛套用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者說測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

基本介紹

• 中文名：勒貝格測度
• 外文名：Lebesgue measure
• 提出時間：1902年
• 領域：數理科學

歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨後在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發表的。

例子

1.如果A是一個區間 ， 那么其勒貝格測度是區間長度 。開區間 的長度與閉區間一樣，因為兩集合的差是零測集。

2. 如果A是區間 和 的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積 。

3.康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。

性質

上的勒貝格測度有如下的性質：

1. 如果A是區間 的笛卡爾積，那么A是勒貝格可測的，並且 其中 表示區間I的長度。

2. 如果A是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的並，那么A也是勒貝格可測的，並且λ(A) 就是這些可測集的測度的和（或無窮級數的和）。

3. 如果A勒貝格可測的，那么它的補集（相對於R）也是可測的。

4. 對於每個勒貝格可測集A，λ(A) ≥ 0 。

5. 如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)

6. 可數多個是勒貝格可測集的交或者並仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。

7. 如果A是一個開集或閉集，且是R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那么A是勒貝格可測的。

8. 如果A是一個勒貝格可測集，並有 λ(A) = 0 (零測集)，則A的任何一個子集也是零測集。

9. 如果A是勒貝格可測的，x是R中的一個元素，A關於x的平移（定義為 ）也是勒貝格可測的，並且測度等於A.

10. 如果A是勒貝格可測的， ，則 關於 的擴張（定義為 ）也是勒貝格可測的，其測度為 。

11. 更廣泛地說，設T是一個線性變換，A是一個R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為 。

12. 如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個A到R上的連續單射函式，則f(A)也是勒貝格可測的。

簡要地說， 的勒貝格可測子集組成一個含所有區間及其笛卡爾積的σ代數，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 的測度。

勒貝格測度是σ-有限測度。

零測集

的子集是零測集，如果對於每一個ε > 0，它都可以用可數個n個區間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數集都是零測集。

如果 的子集的豪斯多夫維數小於n，那么它就是關於n維勒貝格測度的零測集。在這裡，豪斯多夫維數是相對於 上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於n，但具有正的n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。

為了證明某個給定的集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合B，與A只相差一個零測集，然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和並集生成。

勒貝格測度的結構

勒貝格測度的現代結構，基於外測度，是卡拉特奧多里發明的。

固定 ， 中的盒子是形如 的集合，其中 。這個盒子的體積 定義為

對於任何 的子集A，我們可以定義它的外測度 ：

是可數個盒子的集合，它的並集覆蓋了 。然後定義集合A為勒貝格可測的，如果對於所有集合 ，都有：

這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。勒貝格測度定義為λ(A) = λ(A)對於任何勒貝格可測的集合A。

根據維塔利定理，存在實數 的一個勒貝格不可測的子集。如果A是的任何測度為正數的子集，那么A便有勒貝格不可測的子集。

與其他測度的關係

在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。

哈爾測度可以定義在任何局部緊群上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的是一個局部緊群）。

豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對於測量的維數比n低的子集是很有用的，例如內的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的概念混淆。

可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。