有界函式

概念

設ƒ(x)是區間E上的函式。若對於任意屬於E的x，存在常數M>0，使得|ƒ(x)|≤M，則稱ƒ(X)是區間E上的有界函式。

正弦函式sin x 和餘弦函式cos x為R上的有界函式，因為對於每個x∈R都有|sin x|≤1和|cos x|≤1

下面介紹與有界函式概念相關的幾個概念。

設函式f(x)是某一個實數集A上有定義，如果存在正數M 對於一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的則稱函式f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數M則稱函式f(x)在A上無界設f為定義在D上的函式，若存在數M（L），使得對每一個x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）

則稱ƒ在D上有上（下）界的函式，M（L）稱為ƒ在D上的一個上（下）界。

根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味著值域ƒ(D)是一個有上（下）界的數集。又若M(L)為ƒ在D上的上（下）界，則任何大於（小於）M（L）的數也是ƒ在D上的上（下）界。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。

一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。所以，一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的，如果存在一個數M> 0，使得對於所有的自然數n，都有：

。

由ƒ (x)=sinx所定義的函式f:R→R是有界的。如果正弦函式是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。函式（x不等於-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函式的值就變得越來越大。但是，如果把函式的定義域限制為[2, ∞).，則函式就是有界的。

函式是有界的。

任何一個連續函式f:[0,1] →R都是有界的。考慮這樣一個函式：當x是有理數時，函式的值是0，而當x是無理數時，函式的值是1。這個函式是有界的。有界函式並不一定是連續的。

函式的有界性與其他函式性質之間的關係

函式的性質：有界性，單調性，周期性，連續性，可積性。

閉區間上的單調函式必有界。其逆命題不成立。