可積性(數學名詞)

數學上，可積函式是存在積分的函式。除非特別指明，一般積分是指勒貝格積分。否則，稱函式為"黎曼可積"（也即黎曼積分存在），或者"Henstock-Kurzweil可積"，等等。

基本介紹

• 中文名：可積性
• 外文名：Integrability

定義

數學上，可積函式是存在積分的函式。除非特別指明，一般積分是指勒貝格積分。否則，稱函式為"黎曼可積"（也即黎曼積分存在），或者"Henstock-Kurzweil可積"，等等。

注意，函式可以有不定積分（反導數），而並不在如下的定義中可積。例如函式

是的不定積分，但是f(x)不是實數上的可積函式。這種情況在不定積分在每個方向都有極限的時候也可能成立，例如

其導數不是從1到無窮可積的。積分區間不是無窮的時候也會出現這種情況，譬如不定積分

其導數不是從0到1可積的。（無論f(x)在0點取何值，它都是在該點不連續的，而F'(0)無定義，所以微積分基本定理在[0, 1]上不適用。）

勒貝格

簡述

給定集合X及其上的σ-代數σ和σ上的一個測度，實值函式f:X→R是可積的如果正部f和負部f都是可測函式並且其勒貝格積分有限。令

為f的"正部"和"負部"。如果f可積，則其積分定義為

對於實數p≥ 0，函式f是p-可積的如果|f|是可積的；對於p= 1，也稱絕對可積。（注意f(x)是可積的若且唯若|f(x)|是可積的，所以"可積"和"絕對可積"在勒貝格意義下等價。）術語p-可和也是一樣的意義，常用於f是一個序列，而μ是離散測度的情況下。

這些函式組成的L空間是泛函分析研究中的主要對象之一。

泛函分析

泛函分析（英語：Functional Analysis）是現代數學分析的一個分支，隸屬於分析學，其研究的主要對象是函式構成的函式空間。泛函分析歷史根源是由對函式空間的研究和對函式的變換（如傅立葉變換等）的性質的研究。這種觀點被證明是對微分方程和積分方程的研究中特別有用。

使用泛函這個詞作為表述源自變分法，代表作用於函式的函式，這意味著，一個函式的參數是函式。這個名詞首次被雅克·阿達馬在1910年使用於這個課題的書中。是泛函分析理論的主要奠基人之一。然而，泛函的一般概念以前曾在1887年是由義大利數學家和物理學家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）介紹。非線性泛函理論是由雅克·阿達馬的學生繼續研究，特別是莫里斯·弗雷歇（Maurice Fréchet）可和列維（Levy）。雅克·阿達馬還創立線性泛函分析的現代流派，並由弗里傑什·里斯和一批圍繞著斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）的波蘭數學家群體進一步發展。

從現代觀點來看，泛函分析研究的主要是實數域或複數域上的完備賦范線性空間。這類空間被稱為巴拿赫空間，巴拿赫空間中最重要的特例被稱為希爾伯特空間，其上的範數由一個內積導出。這類空間是量子力學數學描述的基礎。更一般的泛函分析也研究Fréchet空間和拓撲向量空間等沒有定義範數的空間。

泛函分析所研究的一個重要對象是巴拿赫空間和希爾伯特空間上的連續線性運算元。這類運算元可以導出C*-代數和其他運算元代數的基本概念。

平方可積

概述

一個實變或者復變數的實值或者復值函式是在區間上平方可積的，如果其絕對值的平方在該區間上的積分是有限的。所有在勒貝格積分意義下平方可積的可測函式構成一個希爾伯特空間，也就是所謂的L空間，幾乎處處相等的函式歸為同一等價類。形式上，L是平方可積函式的空間和幾乎處處為0的函式空間的商空間。

這在量子力學上很有用，因為波函式必須在空間上平方可積才能從理論中得到物理可能解。

波函式

在量子力學里，量子系統的量子態可以用波函式（英語：wave function）來描述。薛丁格方程設定波函式如何隨著時間流逝而演化。從數學角度來看，薛丁格方程乃是一種波動方程，因此，波函式具有類似波的性質。這說明了波函式這術語的命名原因。

波函式是一種復值函式，表示粒子在位置、時間的機率幅，它的絕對值平方是在位置、時間找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函式是“在某時間、某位置發生相互作用的機率幅”。

波函式的概念在量子力學裡非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函式。