托勒密定理

托勒密定理

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。 原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等於 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。 從這個定理可以推出正弦、餘弦的和差公式及一系列的三角恆等式，托勒密定理實質上是關於共圓性的基本性質．

基本介紹

  • 中文名：托勒密定理
  • 外文名：Ptolemy's theorem
  • 表達式：AC·BD=AB·CD+AD·BC
  • 提出者：依巴谷
  • 套用學科：數學
  • 適用領域範圍：幾何學
定理提出,定理定義,驗證推導,定理推廣,推廣,推論,運用要點,

定理提出

一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。
托勒密定理
摘出並完善後的托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
定理表述：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等於 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。
從這個定理可以推出正弦、餘弦的和差公式及一系列的三角恆等式，托勒密定理實質上是關於共圓性的基本性質．

定理定義

指圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。

驗證推導

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）
在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連線DE.
則△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,
所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因為BE+ED≥BD
（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）
複數證明
用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恆等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b−d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。 四點不限於同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
托勒密定理
二、
設ABCD是圓內接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。
三、
托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC．
證明：如圖1，過C作CP交BD於P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．
四、廣義托勒密定理：設四邊形ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m、n，則有：
m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)

定理推廣

推廣

托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號若且唯若共圓或共線。
簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，若且唯若ABCD四點共圓時取等號。
2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓

運用要點

1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。
2.四點不限於同一平面。
歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD

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