開世定理

在幾何學中，開世定理是歐幾里得幾何學中的一個定理，可以看做是托勒密定理的一個推廣結果。開世定理得名於愛爾蘭數學家約翰·開世。

基本介紹

• 中文名：開世定理
• 分類：圓、歐幾里得幾何
• 領域：數理科學

敘述

開世定理的背景是圓的內切圓。設有半徑為 的一個圓 ，圓內又有四個圓 內切於圓 (如圖1所示)。如果將圓 的外公切線的長度設為 ，那么開世定理聲稱，有下列等式成立。

可以注意到，如果四個內切的圓都退化成點的話，就會變成圓 上的四個點，而開世定理中的等式也會化為托勒密定理。

圖1

證明

設大圓的圓心是點 ；四個圓的圓心分別是點 ，半徑分別是 。每個圓與大圓 的切點分別是 。

首先，根據勾股定理可以推出：對於任意的i 和j，都有

接下來的思路是將這個公式右邊的各個長度用 來表示。

考慮三角形 ，根據三角形的餘弦定理：

由於每個圓 都和大圓相切，所以：

設點 為大圓 上的任意一點，根據三角形的正弦定理，在三角形 之中，有：

所以，餘弦式

將以上 與 代入式子（2）中，就可以得到：

再代入式子 (1)中，就得到 的表達式：

以上等式對所有的i和j都成立，因此只要注意到四邊形 是圓內接四邊形，那么對其套用套用托勒密定理就可以得到開世定理：

證明完畢。

推廣

可以用類似的方法證明，只要當圓與大圓相切（不論是外切還是內切），就會有類似開世定理的等式成立。這是需要註明，對任意的i 和j：

1、如果圓是與大圓以同樣的方式相切（都是外切或者都是內切）的話，則表示兩個圓的外公切線的長度；

2、如果圓是與大圓以不同的方式相切（一個是外切而另一個是內切）的話，則表示兩個圓的內公切線的長度。

另一個特點是：這定理的逆定理也成立。也就是說，如果開世定理的等式成立，那么這些圓必定以規定的方式與大圓相切。

套用

在歐幾里得幾何學中，開世定理可以用來證明多種不同的結論。比如說費爾巴哈定理的一個簡潔證明中就用到了它。