斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。該定理是由Stewart提出的。
基本介紹
- 中文名：斯特瓦爾特定理
- 外文名：Stewart Theorem
- 別稱：斯台瓦特定理，斯庫頓定理
- 表達式：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD
- 提出者：Stewart
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：平面幾何學
定理定義,驗證推導,證法一,證法二,定理推廣,常見套用,
定理定義
設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有：
AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
驗證推導
證法一
已知：如圖2－6所示，在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連線AD。
求證：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
證明：如圖2－6所示，作AH⊥BC於H。為了明確起見，設H和C在點D的同側。
由廣勾股定理有：
AC2=AD2+DC2-2DC·DH······（1）
斯特瓦爾特定理
斯特瓦爾特定理AB2=AD2+BD2+2BD·DH······（2）
用BD乘（1）式兩邊得：
AC2·BD=AD2·BD+DC2·BD-2DC·DH·BD······（3）
用DC乘（2）式兩邊得：
AB2·DC=AD2·DC+BD2·DC+2BD·DH·DC······（4）
由 （3）+（4） 得到：
AC2·BD+AB2·DC
=AD2·(BD+DC)+DC2·BD+BD2·DC
=AD2·BC+BD·DC·BC
∴AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD
證法二
已知：如圖2－6所示，在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連線AD。
求證：AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
證明：
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴cos∠BDA+cos∠CDA=0
根據餘弦定理得：
AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA······（1）
AC2=CD2+AD2-2CD·AD·cos∠CDA······（2）
用CD乘（1）式兩邊得：
AB2·CD=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA
用BD乘（4）式兩邊得：
AC2·BD=CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
由 （3）+（4） 得到：
AB2·CD+AC2·BD
=BD2·CD+AD2·CD-2BD·AD·CD·cos∠BDA+CD2·BD+AD2·BD-2CD·AD·BD·cos∠CDA
=(BD2·CD+CD2·BD)+(AD2·CD+AD2·BD)-(2BD·AD·CD·cos∠BDA+2CD·AD·BD·cos∠CDA)
=BD·CD·(BD+CD)+AD2·(CD+BD)-2BD·AD·CD·(cos∠BDA+cos∠CDA)
=BD·CD·BC+AD2·CD-2BD·AD·CD·0
=BD·CD·BC+AD2·CD
∴AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD。
斯特瓦爾特定理的逆定理成立。
定理推廣
斯特瓦爾特定理還有如下推論:
在△ABC中，點D是線段BC上的一點，連線AD。
(1)若AB=AC，則AD2=AB2-BD·DC；
(2)若AD為BC中線，則AD2=1/2(AB2+AC2)-1/4BC2 （即中線定理）；
(3)若AD為∠BAC內角平分線，則AD2=AB·AC﹣BD·DC （即角平分線長公式）；
(4)若AD為∠BAC外角平分線，則AD2=﹣AB·AC+BD·DC；
(5)若BD/BC=λ，則AD2=λ·(λ﹣1)·BC2+(1﹣λ)·AB2+λ·AC2。
常見套用
①用於得到線段倍份關係；
②用於求解三角形問題（選擇適當的三角形及其邊上的點；靈活運用推論）。
③其在等腰三角形中的推廣，可用於求解與圓有關的問題（與圓的冪，切線長定理等相結合）。
