完備性是指在數學及其相關領域中，當一個對象具有完備性，即它不需要添加任何其他元素，這個對象也可稱為完備的或完全的。完備性也稱完全性，可以從多個不同的角度來精確描述這個定義，同時可以引入完備化這個概念。
基本介紹
- 中文名：完備性
- 外文名：uniform space
- 也稱：完全性
- 出處：哥德爾不完備定
不同領域中的含義,解釋,度量空間,測度空間,統計學,圖論,範疇論,序理論,數理邏輯,複雜度,
不同領域中的含義
在不同的領域中，“完備”有不同的含義，特別是在某些領域中，“完備化”的過程並不稱為“完備化”，另有其他的表述，請參考代數閉域(algebraically closed field）、緊化(compactification）或哥德爾不完備定理。完備性在一般空間中表示任何空間中的柯西點列的一致收斂極限包含於這個空間中。完備性與所定義的度量有關，一旦定義了度量，那么可以討論這個空間的完備性。
解釋
度量空間
在泛函分析(functional analysis）中，一個拓撲向量空間(topological vector space)V的子集S被稱為是完全的，如果S的擴張（span）在V中是稠密的（dense）。如果V是可分拓撲空間(separable topology space），那么也可以導出V中的任何向量都可以被寫成S中元素的（有限或無限的）線性組合。更特殊地，在希爾伯特空間(Hilbert space））中（或者略一般地，線上性內積空間（inner product space）中），一組標準正交基（orthonormal basis）就是一個完全而且正交的集合。
測度空間
統計學
圖論
範疇論
在範疇論(category theory），一個範疇C被稱為完備的，如果任何一個從小範疇到C的函子（functor）都有極限(limit）。而它被稱為上完備的，如果任何函子都有一個上極限（colimit）。請查看範疇論中的極限定義。
序理論
在序理論(order theory）和相關的領域中，如格(lattice）和疇(domain theory）中，全序性（completeness）一般是指對於偏序集(partially ordered set）存在某個特定的上確界(suprema）或下確界(infima）。值得特別注意的是，這個概念在特定的情況下也套用於完全布爾代數(complete Boolean algebra），完全格(complete lattice）和完全偏序(complete partial order）。並且一個有序域（ordered field）被稱為完全的，如果它的任何在這個域中有上界的非空子集，都有一個在這個域中的最小上界（least upper bound）；注意這個定義與序理論中的完全有界性(bounded complete）有細小的差別。在同構的意義下，有且僅有一個完全有序域，即實數。
數理邏輯
在數理邏輯(en:mathematical logic中），一個理論(theory）被稱為完備的，如果對於其語言（language）中的任何一個句子（sentence)S，這個理論包括且僅包括S或S之逆。一個系統是兼容的，如果不存在同時P和非P的證明。哥德爾不完備定理證明了，包含皮亞諾公理(Peano axioms）的所有公理系統都是不可能既完備又相容的。下面還有一些邏輯中關於完備性的定義。
在證明論(proof theory）和相關的數理邏輯的領域中，一個形式的演算(calculus）相對於一個特定的邏輯（即相對於它的語義（semantics））是完備的，如果任何由一組前提Q根據語義導出的陳述P，都可以從這組前提出發利用這個演算語法地（syntactically）導出。形式地說，Q╞P導出Q|-P。一階邏輯(First-order logic）在這個意義下是完備的。特別的，所有邏輯的重言式(tautologies）都可以被證明。即使在經典邏輯中，這與前述的完備性是不同的（即一個陳述和否定陳述對於這個邏輯而言不可能是重言式）。相反的概念被稱為可靠性（soundness）。
