收斂(數學、經濟學名詞)

收斂是一個經濟學、數學名詞，是研究函式的一個重要工具，是指會聚於一點，向某一值靠近。收斂類型有收斂數列、函式收斂、全局收斂、局部收斂。

基本介紹

• 中文名：收斂
• 外文名：convergence
• 基本問題：級數的收斂發散問題
• 作用：研究函式的一個重要工具
• 套用：進行近似計算

數學名詞

收斂數列

令{}為一個數列，且A為一個固定的實數，如果對於任意給出的b>0,存在一個正整數N，使得對於任意n>N,有|-A|<b恆成立，就稱數列{}收斂於A（極限為A），即數列{}為收斂數列。

函式收斂

定義方式與數列收斂類似。柯西收斂準則：關於函式f(x)在點x0處的收斂定義。對於任意實數b>0,存在c>0,對任意x1,x2滿足0<|x₁-x₀|<c,0<|x₂-x₀|<c,有|f(x₁)-f(x₂)|<b。

收斂的定義方式很好的體現了數學分析的精神實質。

如果給定一個定義在區間i上的函式列，u₁(x）， u₂（x） ，u₃（x）......至u_n（x）....... 則由這函式列構成的表達式u₁（x）+u₂（x）+u3（x）+......+u_n（x）+......⑴稱為定義在區間i上的（函式項）無窮級數，簡稱（函式項）級數

對於每一個確定的值X0∈I,函式項級數 ⑴ 成為常數項級數u₁（x0）+u₂（x0）+u₃（x0）+......+u_n（x0）+.... （2） 這個級數可能收斂也可能發散。如果級數（2）發散，就稱點x0是函式項級數（1）的發散點。函式項級數（1）的收斂點的全體稱為他的收斂域 ，發散點的全體稱為他的發散域 對應於收斂域內任意一個數x，函式項級數稱為一收斂的常數項 級數 ，因而有一確定的和s。這樣，在收斂域上 ，函式項級數的和是x的函式S（x），通常稱s（x）為函式項級數的和函式，這函式的定義域就是級數的收斂域，並寫成S（x）=u₁（x）+u₂（x）+u₃（x）+......+u_n（x）+......把函式項級數 ⑴ 的前n項部分和 記作Sn(x)，則在收斂域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)

記rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函式級數項的餘項 （當然，只有x在收斂域上rn（x）才有意義，並有lim n→∞rn (x)=0

疊代算法的斂散性

1.全局收斂

對於任意的X₀∈[a,b],由疊代式X_k+1=φ（X_k）所產生的點列收斂，即其當k→∞時，X_k的極限趨於X*，則稱X_k+1=φ（X_k）在[a，b]上收斂於X*。

2.局部收斂

若存在X*在某鄰域R={X| |X-X*|<δ},對任何的X₀∈R，由X_k+1=φ（X_k）所產生的點列收斂，則稱X_k+1=φ（X_k）在R上收斂於X*。

相關經濟學名詞

收斂的基本解釋：收起 。

絕對收斂

一般的級數u₁+u₂+...+u_n+...

它的各項為任意級數。

如果級數Σu各項的絕對值所構成的正項級數Σ∣u_n∣收斂，

則稱級數Σu_n絕對收斂

經濟學中的收斂，分為絕對收斂和條件收斂

絕對收斂，指的是不論條件如何，窮國比富國收斂更快。

條件收斂，指的是技術給定其他條件一樣的話，人均產出低的國家，相對於人均產出高的國家，有著較高的人均產出增長率，一個國家的經濟在遠離均衡狀態時，比接近均衡狀態時，增長速度快。

條件收斂

一般的級數u₁+u₂+...+u_n+...

它的各項為任意級數。

如果級數Σu各項的絕對值所構成的正項級數Σ∣u_n∣收斂，

則稱級數Σu_n絕對收斂。

如果級數Σu_n收斂，

而Σ∣u_n∣發散，

則稱級數Σu_n條件收斂。