在數學中，有向完全偏序和完全偏序是兩種特殊的偏序集合，分別簡寫為 dcpo 和 cpo。它們特徵化自特定的完備性性質。dcpos 和 cpos 是序理論的概念，主要套用於理論計算機科學和指稱語義。
基本介紹
- 中文名：完全偏序
- 外文名：Complete partial order
- 分類：數理科學
定義,性質,連續函式和不動點,有關文章,例子,
定義
一個偏序集合是有向完全偏序(dcpo)，如果它的每個有向子集都有上確界。完全偏序(cpo)是帶有最小元素的 dcpo。在文獻中，dcpos 有時分類為sup-完全偏序集合，或在不會造成歧義的情況下簡稱為“cpo”。帶有最小元素的 dcpo 有時叫做尖角(pointed) dcpo 或尖角 cpo。
有向完全偏序集合的對偶概念叫做過濾完全偏序。但是這個概念在實踐中不常用，因為通常可以明確地在這個對偶的次序上工作。
性質
有序集合P是 cpo，若且唯若所有全序子集都有在P中的上確界。可作為替代，有序集合P是 cpo，若且唯若所有P的序保持自映射都有最小不動點。所有集合S都可以變成 cpo，通過增加一個最小元素 ⊥ 並介入一個平坦次序，帶有 ⊥≤s對於所有s∈S，並沒有其他次序關係。
連續函式和不動點
在兩個 dcposP和Q之間的函式f被稱為連續的，如果它把有向集合映射到有向集合，並保持它們的上確界:
在兩個 cpos (P, ⊥P) 和 (Q, ⊥Q) 之間的函式f被稱為是連續的，如果它進一步保持最小元素:
在兩個 dcposP和Q之間的所有連續函式的集合被指示為 [P→Q]。配備了逐點(pointwise)次序，這是 dcpo，並是 cpo 只要Q是 cpo。
在 cpos 之間的所有連續函式是序保持的但反之不然。所有 cpo (P, ⊥) 的序保持的自映射f有最小不動點。如果f是連續的，則這個不動點等於 ⊥ 的疊代(⊥,f(⊥),f(f(⊥)), …f(⊥), …) 的上確界。
有關文章
有向完全性以各種方式關聯於其他完備性概念。這在完全性 (序理論)中討論。有向完全性自身在其他序理論研究中是經常出現的非常基本的性質。例如，涉及有向完全性的定理可以在連續偏序集合、代數偏序集合和Scott拓撲文章中討論。在 dcpos 之間的函式經常要求是單調的甚至是Scott連續性的。
例子
- 對於任何偏序集合，所有非空濾子的集合，用子集包含排序，是 dcpo，甚至是 cpo 如果這個偏序集合有最大元素。與空濾子在一起它也保證是 cpo。如果次序是交半格(甚至是格)，則這個構造(包括空濾子)實際上生成一個完全格。
- 考慮在某個集合S上所有偏函式的集合，偏函式是只在(它的域)S的某些子集上有定義的函式。對於兩個這種函式f和g，定義f≤g若且唯若，f的域是g的域的子集，並且f和g的值在對兩個函式都有定義的所有輸出上一致。在這種情況下，我們稱g擴展了f。這個次序是 cpo，這裡的最小元素是無處定義函式(有空域)。事實上，≤ 也是有界完全性的。這個例子還展示了為什麼不總是自然的有一個最大元素。
- sober空間的特殊化次序是 dcpo。
- 所有有限偏序集合都是有向完全的，所有帶有最小元素的有限偏序集合都是 cpo。
- 所有完全格都是有向完全的並因此為 dcpos 提供了眾多例子。
