單位元(英文常寫作Identity Element，即IE)是集合里的一種特別的元，與該集合里的運算（可理解為實數里的*，但並不局限於）有關。當它和其他元素結合時，並不會改變那些元素。也叫麼元（么元）。若a*e=a，e稱為右單位元；若e*a=a，e稱為左單位元，若a*e=e*a=a，則e稱為單位元。若該演算左右的元素能互換，左、右單位元相同，可稱為雙邊單位元。
基本介紹
- 中文名：單位元
- 外文名：Identity Element
- 簡稱：IE
- 解釋：集合里的一種特別的元
- 相關術語：二元運算
- 套用學科：數學
定義,例子,相關,
定義
設 (S,*)為一帶有一二元運算* 的集合S（稱之為原群），則S內的一元素e被稱為左單位元若對所有在S內的a而言，e*a=a；且被稱為右單位元若對所有在S內的a而言，a*e=a。而若e同時為左單位元及右單位元，則稱之為雙邊單位元，又簡稱為單位元。
對應於加法的單位元稱之為加法單位元（通常被標為0），而對應於乘法的單位元則稱之為乘法單位元（通常被標為1）。這一區分大多被用在有兩個二元運算的集合上，比如環。
例子
| 集合 | 運算 | 單位元 |
|---|---|---|
+（加法） | ||
·（乘法） | ||
a（冪） | 1（只為右單位元） | |
+（加法） | ||
·（乘法） | ||
所有從集合M映射至其自身的函式 | ∘ （函式複合） | 單位函式 |
所有從集合M映射至其自身的函式 | * （卷積） | δ（狄拉克δ函式） |
串接 | 空字元串 | |
擴展的實軸 | 最小值 | ∞ |
擴展的實軸 | 最大值 | -∞ |
集合M的子集 | ∩（交集） | M |
集合 | ∪（並集） | { }（空集） |
∧（邏輯與） | ⊤（真值） | |
∨（邏輯或） | ⊥（假值） | |
閉二維流形 | #（連通和） | S2 |
只兩個元素{e,f} | * 定義為 e*e=f*e=e且 f*f=e*f=f | e和f都是左單位元，但不存在右單位元和雙邊單位元 |
如最後一個例子所示，有若干個左單位元是可能的，且事實上，每一個元素都可以是左單位元。同樣地，右單位元也一樣。但若同時存在有右單位元和左單位元，則它們會相同且只存在單一個雙邊單位元。要證明這個，設l為左單位元且r為右單位元，則l=l*r=r。特別地是，不存在兩個以上的單位元。若有兩個單位元e和f的話，則e*f必同時等於e和f。
