基本介紹
- 中文名：外積
- 外文名：Outer product
- 別稱：矢量積
- 符號表示：a×b
- 大小：|a|·|b|·sin<a,b>.
- 套用學科：數學
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描述
定義
把向量外積定義為：
符號表示：a× b
大小：|a|·|b|·sin<a,b>.
方向：右手定則：若坐標系是滿足右手定則的，設z=x×y,|z|=|x||y|*sin<x,y>；則x,y,z構成右手系，伸開右手手掌，四個手指從x軸正方向方向轉到y軸正方面，則大拇指方向即為z正軸方向。
外積的坐標表示：
(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)
分配律
a× (b+c) = a ×b +a ×c
下面給出代數方法。我們假定已經知道了：
1）外積的反對稱性：
a× b= - b× a.
這由外積的定義是顯然的。
a·（b+ c) = a·b+ a·c,
（a+ b）·c= a·c+ b·c.
這由內積的定義a·b= |a|·|b|·cos<a,b>；，用投影的方法不難得到證明。
3）混合積的性質：
定義（a×b）·c為矢量a,b,c的混合積，容易證明：
i) (a×b）·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由a,b,c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。
外積
外積簡單證明：體積V=底面積S×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以 V=c·h=c·(a×b）
從而就推出：
ii) (a×b）·c= a·（b×c)
所以我們可以記a,b,c的混合積為（a,b,c).
由i）還可以推出：
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我們還有下面的一條顯然的結論：
iv) 若一個矢量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。
分配律證明
下面我們就用上面的1）2）3）來證明外積的分配律。
設r為空間任意矢量，在r·(a×(b+ c))里，交替兩次利用3）的ii）、iii）和數積分配律2），就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b+ c)
= (r×a)·b+ (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b+ a×c)
移項，再利用數積分配律，得
r·（a×（b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0
這說明矢量a×（b+ c) - (a×b+a×c)垂直於任意一個矢量。按3）的iv），這個矢量必為零矢量，即
a×（b+ c) - (a×b+ a×c) = 0
