向量分析(數學概念)

簡介

向量分析關注向量場的微分和積分，主要在3維歐幾里得空間

中。“向量分析”有時用作多元微積分的代名詞，其中包括向量分析，以及偏微分和多重積分等更廣泛的問題。

向量分析從四元數分析發展而來，由約西亞·吉布斯和奧利弗·黑維塞於19世紀末提出，大多數符號和術語由吉布斯和黑維塞在他們1901年的書《向量分析》中提出。向量演算的常規形式中使用外積，不能推廣到更高維度，而另一種幾何代數的方法，它利用可以推廣的外積，下文將會討論。

向量分析中的基本代數（非微分）運算的稱為向量代數，定義在向量空間，然後套用到整個向量場，包括：

標量場和向量場相乘，產生向量場：

；

2.向量加法

兩個向量場相加，產生向量場：

；

兩個向量場相乘，產生標量場：

；

兩個向量場相乘，產生向量場：

；

向量和兩個向量叉積的點積：

；

6.向量三重積

向量和兩個向量叉積的叉積：

或

；

儘管三重積不常作為基本運算，不過仍可以用內積及外積表示。

向量分析研究定義在標量場或向量場定義的不同微分運算元，通常用的向量運算元（∇）來表示，也被稱為“Nabla運算元”。向量分析的五個最重要的微分運算：

同樣，也有幾個與這幾個相關的重要定理，將微積分基本定理拓展到了更高維度：

定理	表示	註解
梯度定理		梯度（向量）場中的曲線積分與它的標量場中兩個端點的差。
格林定理		平面內向量場中區域的標量旋度，等於向量場沿逆時針方向的封閉曲線的線積分。
斯托克斯定理		內向量場的旋度的曲面積分，等於向量場在曲面邊界上的線積分。
高斯散度定理		向量場的散度對體積的積分，等於穿過包圍體積的閉曲面通量的積分。